Predavanje: "Metode reševanja eksponentnih enačb."

1 . eksponentne enačbe.

Enačbe, ki vsebujejo neznanke v eksponentu, se imenujejo eksponentne enačbe. Najenostavnejša med njimi je enačba ax = b, kjer je a > 0 in a ≠ 1.

1) Za b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0 ima enačba z uporabo monotonosti funkcije in korenskega izreka en sam koren. Da bi ga našli, je treba b predstaviti kot b = aс, ax = bс ó x = c ali x = logab.

Eksponentne enačbe z algebrskimi transformacijami vodijo do standardnih enačb, ki jih rešujemo z naslednjimi metodami:

1) način znižanja na eno osnovo;

2) način ocenjevanja;

3) grafična metoda;

4) način uvajanja novih spremenljivk;

5) metoda faktorizacije;

6) eksponentno - potenčne enačbe;

7) eksponentna s parametrom.

2 . Metoda redukcije na eno osnovo.

Metoda temelji na naslednji lastnosti stopinj: če sta dve stopnji enaki in sta njuni osnovi enaki, sta njuna eksponenta enaka, to pomeni, da je treba enačbo poskusiti reducirati na obliko

Primeri. Reši enačbo:

1 . 3x=81;

Predstavimo desno stran enačbe v obliki 81 = 34 in zapišimo enačbo, enakovredno prvotni 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> in pojdite na enačbo za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Upoštevajte, da so števila 0,2, 0,04, √5 in 25 potence števila 5. Izkoristimo to in pretvorimo prvotno enačbo na naslednji način:

, od koder je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iz česar najdemo rešitev x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma je x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo enačbo kot 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, tj..png" width="181" height="49 src="> Zato je x - 4 =0, x = 4. Odgovor: štiri.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Z uporabo lastnosti potenc enačbo zapišemo v obliki e. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Banka nalog št. 1.

Reši enačbo:

Test številka 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) brez korenin
	1) 7;1 2) brez korenin 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) brez korenin 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda ocenjevanja.

Korenski izrek: če funkcija f (x) narašča (zmanjšuje) na intervalu I, je število a katera koli vrednost, ki jo vzame f na tem intervalu, potem ima enačba f (x) = a en sam koren na intervalu I.

Pri reševanju enačb z estimacijsko metodo se uporabljata ta izrek in lastnosti monotonosti funkcije.

Primeri. Reši enačbe: 1. 4x = 5 - x.

rešitev. Prepišimo enačbo kot 4x + x = 5.

1. če je x \u003d 1, potem je 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 res, potem je 1 koren enačbe.

Funkcija f(x) = 4x narašča na R in g(x) = x narašča na R => h(x)= f(x)+g(x) narašča na R kot vsota naraščajočih funkcij, torej je x = 1 edini koren enačbe 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

2.

rešitev. Enačbo prepišemo v obliki .

1. če je x = -1, potem , 3 = 3-true, torej je x = -1 koren enačbe.

2. dokazati, da je edinstven.

3. Funkcija f(x) = - pada na R, g(x) = - x - pada na R => h(x) = f(x) + g(x) - pada na R, saj vsota padajočih funkcij. Torej je po korenskem izreku x = -1 edini koren enačbe. Odgovor: -1.

Banka nalog št. 2. reši enačbo

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda uvajanja novih spremenljivk.

Metoda je opisana v razdelku 2.1. Uvedba nove spremenljivke (substitucija) se običajno izvede po transformacijah (poenostavitvi) členov enačbe. Razmislite o primerih.

Primeri. R jesti enačbo: 1. .

Zapišimo enačbo drugače: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj..png" width="210" height = "45">

rešitev. Zapišimo enačbo drugače:

Označite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ni primerno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> je iracionalna enačba. Upoštevajte, da

Rešitev enačbe je x = 2,5 ≤ 4, torej je 2,5 koren enačbe. Odgovor: 2,5.

rešitev. Enačbo prepišemo v obliki in obe strani delimo s 56x+6 ≠ 0. Dobimo enačbo

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, torej..png" width="118" height="56">

Koreni kvadratne enačbe - t1 = 1 in t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

rešitev . Enačbo prepišemo v obliki

in upoštevajte, da je to homogena enačba druge stopnje.

Enačbo delimo z 42x, dobimo

Zamenjaj https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0,5.

Banka nalog #3. reši enačbo

b)

G)

Test #3 z izbiro odgovorov. Najnižja raven.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) brez korenin 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) brez korenin 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 z izbiro odgovorov. Splošna raven.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) brez korenin

5. Metoda faktorizacije.

1. Rešite enačbo: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rešitev..png" width="169" height="69"> , od koder

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

rešitev. Odštejmo 6x na levi strani enačbe in 2x na desni strani. Dobimo enačbo 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ker je 2x >0 za vse x, lahko obe strani te enačbe delimo z 2x brez strahu pred izgubo rešitev. Dobimo 3x = 1ó x = 0.

3.

rešitev. Enačbo rešimo s faktorjenjem.

Izberemo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je koren enačbe.

Enačba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Splošna raven.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentno - potenčne enačbe.

Eksponentnim enačbam se pridružujejo tako imenovane eksponentno-potenčne enačbe, to so enačbe oblike (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Če je znano, da je f(x)>0 in je f(x) ≠ 1, se enačba, tako kot eksponentna, rešuje z enačenjem eksponentov g(x) = f(x).

Če pogoj ne izključuje možnosti f(x)=0 in f(x)=1, potem moramo te primere upoštevati pri reševanju eksponentne potenčne enačbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

rešitev. x2 +2x-8 - smiselno je za vsak x, ker je polinom, zato je enačba enakovredna nizu

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentne enačbe s parametri.

1. Za katere vrednosti parametra p ima enačba 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) edinstveno rešitev?

rešitev. Vpeljemo spremembo 2x = t, t > 0, potem bo enačba (1) dobila obliko t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta enačbe (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Enačba (1) ima edinstveno rešitev, če ima enačba (2) en pozitivni koren. To je možno v naslednjih primerih.

1. Če je D = 0, to je p = 1, bo enačba (2) prevzela obliko t2 – 2t + 1 = 0, torej t = 1, zato ima enačba (1) enolično rešitev x = 0.

2. Če je p1, potem je 9(p – 1)2 > 0, potem ima enačba (2) dva različna korena t1 = p, t2 = 4p – 3. Množica sistemov izpolnjuje pogoj problema

Če nadomestimo t1 in t2 v sistema, imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

rešitev. Pustiti potem bo enačba (3) imela obliko t2 – 6t – a = 0. (4)

Poiščimo vrednosti parametra a, za katere vsaj en koren enačbe (4) izpolnjuje pogoj t > 0.

Vstavimo funkcijo f(t) = t2 – 6t – a. Možni so naslednji primeri.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Primer 2. Enačba (4) ima enolično pozitivno rešitev, če

D = 0, če je a = – 9, bo enačba (4) imela obliko (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Primer 3. Enačba (4) ima dva korena, vendar eden od njiju ne zadošča neenakosti t > 0. To je mogoče, če

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Tako ima enačba (4) pri a 0 en sam pozitivni koren . Potem ima enačba (3) edinstveno rešitev

Za< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

če< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
če je a = – 9, potem je x = – 1;

če je  0, potem

Primerjajmo metode za reševanje enačb (1) in (3). Upoštevajte, da smo pri reševanju enačbe (1) zmanjšali na kvadratno enačbo, katere diskriminanta je polni kvadrat; tako so bili koreni enačbe (2) takoj izračunani s formulo korenov kvadratne enačbe in nato izvedeni sklepi glede teh korenov. Enačba (3) je bila reducirana na kvadratno enačbo (4), katere diskriminanta ni popoln kvadrat, zato je pri reševanju enačbe (3) priporočljivo uporabiti izreke o lokaciji korenin kvadratnega trinoma in grafični model. Upoštevajte, da je enačbo (4) mogoče rešiti z uporabo izreka Vieta.

Rešimo bolj zapletene enačbe.

Naloga 3. Reši enačbo

rešitev. ODZ: x1, x2.

Predstavimo zamenjavo. Naj bo 2x = t, t > 0, potem bo zaradi transformacij enačba dobila obliko t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Poiščemo vrednosti a, za katere je vsaj en koren enačba (*) izpolnjuje pogoj t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: če je a > - 13, a  11, a  5, potem če je a - 13,

a = 11, a = 5, potem ni korenin.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji izobraževalne tehnologije.

2. Tehnologija Guzeev: od recepcije do filozofije.

M. "Ravnatelj" št. 4, 1996

3. Guzeev in organizacijske oblike izobraževanja.

4. Guzeev in praksa integralne izobraževalne tehnologije.

M. "Ljudska vzgoja", 2001

5. Guzeev iz oblik pouka - seminar.

Matematika v šoli št. 2, 1987, str. 9 - 11.

6. Izobraževalne tehnologije Selevko.

M. "Ljudska vzgoja", 1998

7. Episheva šolarji se učijo matematike.

M. "Razsvetljenje", 1990

8. Ivanov za pripravo lekcij - delavnic.

Matematika v šoli št. 6, 1990, str. 37-40.

9. Smirnov model poučevanja matematike.

Matematika v šoli št. 1, 1997, str. 32-36.

10. Tarasenko načini organizacije praktičnega dela.

Matematika v šoli št. 1, 1993, str. 27 - 28.

11. O eni od vrst individualnega dela.

Matematika v šoli št. 2, 1994, str. 63 - 64.

12. Khazankin ustvarjalne sposobnosti šolarjev.

Matematika v šoli št. 2, 1989, str. deset.

13. Scanavi. Založba, 1997

14. in drugi Algebra in začetki analize. Didaktična gradiva za

15. Naloge Krivonogova pri matematiki.

M. "Prvi september", 2002

16. Čerkasov. Priročnik za srednješolce in

vstop na univerze. "A S T - novinarska šola", 2002

17. Zhevnyak za kandidate na univerzah.

Minsk in RF "Review", 1996

18. Pisno D. Priprava na izpit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. in drugi Učenje reševanja enačb in neenačb.

M. "Intelekt - Center", 2003

20. in drugi Izobraževalna gradiva za pripravo na E G E.

M. "Intelekt - Center", 2003 in 2004

21 in drugi Različice CMM. Testni center Ministrstva za obrambo Ruske federacije, 2002, 2003

22. Goldbergove enačbe. "Quantum" št. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspešno poučevati matematiko.

Matematika, 1997 št. 3.

24 Okunev za lekcijo, otroci! M. Razsvetljenje, 1988

25. Yakimanskaya - usmerjeno izobraževanje v šoli.

26. Liimets dela pri pouku. M. Znanje, 1975

Primeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako rešiti eksponentne enačbe

Pri reševanju katere koli eksponentne enačbe si prizadevamo, da bi jo pripeljali do oblike \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), nato pa naredimo prehod na enakost indikatorjev, to je:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Pomembno! Iz iste logike sledita dve zahtevi za tak prehod:
- številka v levo in desno morata biti enaka;
- stopinji levo in desno morata biti "čisti", torej ne sme biti nobenih, množenja, deljenja itd.

Na primer:

Da bi enačbo pripeljali do oblike \(a^(f(x))=a^(g(x))\) in se uporabljata.

Primer . Rešite eksponentno enačbo \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
rešitev:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vemo, da \(27 = 3^3\). S tem v mislih transformiramo enačbo.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Z lastnostjo korena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobimo, da \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Nadalje z uporabo lastnosti stopnje \((a^b)^c=a^(bc)\) dobimo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vemo tudi, da \(a^b a^c=a^(b+c)\). Če to uporabimo na levi strani, dobimo: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Zapomnite si, da: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). To formulo lahko uporabite tudi obratno: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potem \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Če uporabimo lastnost \((a^b)^c=a^(bc)\) na desni strani, dobimo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		In zdaj imamo baze enake in ni motečih koeficientov itd. Tako lahko naredimo prehod.
		Primer . Rešite eksponentno enačbo \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) rešitev: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Spet uporabimo lastnost stopnje \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) v nasprotni smeri. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Zdaj si zapomnite \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Z uporabo lastnosti stopnje transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Pozorno pogledamo enačbo in vidimo, da se zamenjava \(t=2^x\) tukaj predlaga sama od sebe. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Vendar smo našli vrednosti \(t\) in potrebujemo \(x\). Vrnemo se k X in naredimo obratno zamenjavo. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Pretvorite drugo enačbo z uporabo lastnosti negativne moči ... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ... in reši do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaja vprašanje - kako razumeti, kdaj uporabiti katero metodo? Pride z izkušnjami. Medtem ko tega niste rešili, uporabite splošno priporočilo za reševanje kompleksnih problemov - "če ne veste, kaj storiti - storite, kar lahko." Se pravi, poiščite, kako lahko načeloma transformirate enačbo, in poskusite to narediti - kaj če se izkaže? Glavna stvar je, da delamo samo matematično utemeljene transformacije. eksponentne enačbe brez rešitev Poglejmo si še dve situaciji, ki učence pogosto begata: - pozitivno število na potenco je enako nič, na primer \(2^x=0\); - pozitivno število na potenco je enako negativnemu številu, na primer \(2^x=-4\). Poskusimo to rešiti s surovo silo. Če je x pozitivno število, potem ko x raste, bo celotna potenca \(2^x\) samo še rasla: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Tudi preteklost. Obstajajo negativni x-ji. Ob upoštevanju lastnosti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ preverimo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Kljub temu, da se število z vsakim korakom manjša, ne bo nikoli doseglo ničle. Torej nas tudi negativna stopinja ni rešila. Pridemo do logičnega zaključka: Pozitivno število na katero koli potenco bo ostalo pozitivno število. Tako zgornji enačbi nimata rešitev. eksponentne enačbe z različnimi bazami V praksi včasih obstajajo eksponentne enačbe z različnimi bazami, ki se med seboj ne reducirajo, in hkrati z enakimi eksponenti. Videti so takole: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kjer sta \(a\) in \(b\) pozitivni števili. Na primer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takšne enačbe je mogoče zlahka rešiti z deljenjem s katerim koli delom enačbe (običajno z deljenjem z desno stranjo, to je z \ (b ^ (f (x)) \). Na ta način lahko delite, ker a pozitivno število je pozitivno do katere koli stopnje (to pomeni, da ne delimo z nič.) Dobimo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primer . Rešite eksponentno enačbo \(5^(x+7)=3^(x+7)\) rešitev: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Pri tem petice ne moremo spremeniti v trojko ali obratno (vsaj brez uporabe). Torej ne moremo priti do oblike \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Hkrati so kazalniki enaki. Enačbo razdelimo na desno stran, to je na \(3^(x+7)\) (to lahko naredimo, ker vemo, da trojka ne bo enaka nič v nobeni stopinji). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Zdaj si zapomnite lastnost \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) in jo uporabite z leve v nasprotni smeri. Na desni strani preprosto zmanjšamo ulomek. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nič ni bilo videti bolje. Toda zapomnite si še eno lastnost stopnje: \(a^0=1\), z drugimi besedami: "katero koli število na ničelno potenco je enako \(1\)". Velja tudi obratno: "enoto lahko predstavimo kot poljubno število, dvignjeno na potenco nič." To uporabimo tako, da je osnova na desni strani enaka tisti na levi. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Znebimo se temeljev. Odgovor napišemo. Odgovori : \(-7\). Včasih "enakost" eksponentov ni očitna, vendar spretna uporaba lastnosti stopnje reši to težavo. Primer . Rešite eksponentno enačbo \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) rešitev: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Enačba je videti precej žalostna ... Ne samo, da se baze ne morejo zmanjšati na isto število (sedem ne bo enako \(\frac(1)(3)\)), tudi indikatorji so različni ... Vendar pa uporabimo eksponent leve stopinjske dvojke. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ob upoštevanju lastnosti \((a^b)^c=a^(b c)\), preoblikujte na levi: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Zdaj, ko se spomnimo lastnosti negativne moči \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo na desni: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Rezultati so enaki! Po shemi, ki nam je že znana, se odločimo pred odgovorom. Odgovori : \(2\).

Oprema:

• Računalnik,
• multimedijski projektor,
• zaslon,
• Priloga 1(predstavitev diapozitivov v PowerPointu) “Metode za reševanje eksponentnih enačb”
• Priloga 2(Rešitev enačbe, kot je »Tri različne osnove stopinj« v Wordu)
• Priloga 3(izroček v Wordu za praktično delo).
• Dodatek 4(izroček v Wordu za domačo nalogo).

Med poukom

1. Organizacijska stopnja

• sporočilo teme lekcije (napisano na tabli),
• potreba po splošni lekciji v razredih 10-11:

Faza priprave študentov na aktivno asimilacijo znanja

Ponavljanje

Opredelitev.

Eksponentna enačba je enačba, ki vsebuje spremenljivko v eksponentu (učenec odgovori).

Opomba učitelja. Eksponentne enačbe spadajo v razred transcendentnih enačb. To težko izgovorljivo ime nakazuje, da takih enačb na splošno ni mogoče rešiti v obliki formul.

Rešujejo jih lahko le s približno numeričnimi metodami na računalnikih. Kaj pa izpitna vprašanja? Celoten trik je v tem, da izpraševalec problem sestavi tako, da samo dopušča analitično rešitev. Z drugimi besedami, lahko (in bi morali!) narediti takšne identične transformacije, ki reducirajo dano eksponentno enačbo na najpreprostejšo eksponentno enačbo. To je najenostavnejša enačba in se imenuje: najenostavnejša eksponentna enačba. Rešeno je logaritem.

Situacija z rešitvijo eksponentne enačbe je podobna potovanju skozi labirint, ki si ga je posebej izmislil sestavljalec problema. Iz teh zelo splošnih premislekov sledijo povsem konkretna priporočila.

Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate:

1. Ne samo, da aktivno poznate vse eksponentne identitete, temveč tudi poiščete nize vrednosti spremenljivke, na kateri so te identitete definirane, tako da pri uporabi teh identitet ne pridobite nepotrebnih korenin in še več, ne izgubite rešitve enačbe.

2. Aktivno poznati vse eksponentne identitete.

3. Jasno, podrobno in brez napak izvedite matematične transformacije enačb (prenesite izraze iz enega dela enačbe v drugega, ne pozabite spremeniti predznaka, reducirajte ulomek na skupni imenovalec itd.). Temu se reče matematična kultura. Hkrati bi morali sami izračuni potekati ročno samodejno, glava pa bi morala razmišljati o splošni vodilni niti rešitve. Preobrazbe je treba narediti čim bolj previdno in podrobno. Le to bo zagotovilo pravilno rešitev brez napak. In ne pozabite: majhna aritmetična napaka lahko preprosto ustvari transcendentalno enačbo, ki je načeloma ni mogoče rešiti analitično. Izkazalo se je, da ste izgubili pot in naleteli na steno labirinta.

4. Poznati metode reševanja problemov (torej poznati vse poti skozi labirint rešitve). Za pravilno orientacijo na vsaki stopnji boste morali (zavestno ali intuitivno!):

• opredeliti vrsta enačbe;
• zapomnite si ustrezno vrsto metoda rešitve naloge.

Stopnja posploševanja in sistematizacije preučenega gradiva.

Učitelj skupaj z učenci ob vključitvi računalnika izvede pregledno ponovitev vseh vrst eksponentnih enačb in načinov njihovega reševanja ter izdela splošno shemo. (Uporablja se računalniški program za usposabljanje L. Ya. Borevskega "Tečaj matematike - 2000", avtor predstavitve v PowerPointu je T. N. Kuptsova.)

riž. eno. Slika prikazuje splošno shemo vseh vrst eksponentnih enačb.

Kot je razvidno iz tega diagrama, je strategija za reševanje eksponentnih enačb zmanjšati to eksponentno enačbo na enačbo, najprej, z enakimi podlagami , in nato - in z enakimi eksponenti.

Ko dobite enačbo z enakimi osnovami in eksponenti, zamenjate to stopnjo z novo spremenljivko in dobite preprosto algebraično enačbo (običajno frakcijsko racionalno ali kvadratno) glede na to novo spremenljivko.

Z rešitvijo te enačbe in inverzno zamenjavo dobite nabor preprostih eksponentnih enačb, ki se rešijo na splošen način z uporabo logaritmov.

Ločeno izstopajo enačbe, v katerih se pojavljajo samo produkti (zasebnih) moči. Z uporabo eksponentnih identitet je mogoče te enačbe takoj pripeljati do ene baze, zlasti do najpreprostejše eksponentne enačbe.

Razmislite, kako je rešena eksponentna enačba s tremi različnimi bazami stopinj.

(Če ima učitelj učni računalniški program L. Ya. Borevskega "Tečaj matematike - 2000", potem seveda delamo z diskom, če ne, lahko iz njega natisnete to vrsto enačbe za vsako mizo, predstavljeno spodaj .)

riž. 2. Načrt rešitve enačbe.

riž. 3. Začetek reševanja enačbe

riž. štiri. Konec rešitve enačbe.

Opravljanje praktičnega dela

Določite vrsto enačbe in jo rešite.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Povzetek lekcije

Ocenjevanje lekcije.

konec lekcije

Za učitelja

Shema praktičnih odgovorov.

Vaja: iz seznama enačb izberite enačbe navedenega tipa (številko odgovora vpišite v tabelo):

1. Tri različne podlage
2. Dve različni bazi - različni eksponenti
3. Osnove potence - potence enega števila
4. Iste osnove, različni eksponenti
5. Iste eksponentne osnove - enaki eksponenti
6. Produkt moči
7. Dve različni osnovi stopinj - enaki indikatorji
8. Najenostavnejše eksponentne enačbe

1. (produkt potenc)

2. (iste osnove - različni eksponenti)

Ta lekcija je namenjena tistim, ki se šele začenjajo učiti eksponentnih enačb. Kot vedno, začnimo z definicijo in preprostimi primeri.

Če berete to lekcijo, potem sumim, da že vsaj minimalno razumete najpreprostejše enačbe - linearne in kvadratne: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Da bi lahko rešili takšne konstrukcije, je nujno potrebno, da ne bi "viseli" v temi, o kateri bomo zdaj razpravljali.

Torej, eksponentne enačbe. Naj vam navedem nekaj primerov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Nekateri od njih se vam morda zdijo bolj zapleteni, nekateri so, nasprotno, preveč preprosti. Toda vse jih združuje ena pomembna lastnost: vsebujejo eksponentno funkcijo $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Tako uvajamo definicijo:

Eksponentna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje eksponentno funkcijo, tj. izraz v obliki $((a)^(x))$. Poleg navedene funkcije lahko takšne enačbe vsebujejo tudi druge algebraične konstrukcije - polinome, korenine, trigonometrijo, logaritme itd.

OK potem. Razumel definicijo. Zdaj se postavlja vprašanje: kako rešiti vso to sranje? Odgovor je preprost in zapleten hkrati.

Začnimo z dobro novico: iz izkušenj s številnimi študenti lahko rečem, da so za večino eksponentne enačbe veliko lažje kot isti logaritmi, še bolj pa trigonometrija.

Obstaja pa tudi slaba novica: včasih sestavljavce nalog za najrazličnejše učbenike in izpite obišče "navdih" in njihovi od mamil vneti možgani začnejo proizvajati tako brutalne enačbe, da postane problematično ne samo za študente, da jih rešijo - celo veliko učiteljev se zatakne pri takšnih težavah.

Vendar, da ne govorimo o žalostnih stvareh. Pa se vrnimo k tistim trem enačbam, ki so bile podane na samem začetku zgodbe. Poskusimo rešiti vsakega od njih.

Prva enačba: $((2)^(x))=4$. No, na kakšno potenco je treba dvigniti število 2, da dobimo število 4? Morda drugo? Navsezadnje je $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — in dobili smo pravilno numerično enakost, tj. res $x=2$. No, hvala, cap, ampak ta enačba je bila tako preprosta, da bi jo lahko rešila celo moja mačka. :)

Poglejmo naslednjo enačbo:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

In tukaj je malo težje. Mnogi učenci vedo, da je $((5)^(2))=25$ tabela množenja. Nekateri tudi sumijo, da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ v bistvu definicija negativnih eksponentov (podobno formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Končno le nekaj izbranih ugiba, da je ta dejstva mogoče združiti in rezultat je naslednji rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Tako bo naša prvotna enačba prepisana na naslednji način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\desna puščica ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

In zdaj je to že popolnoma rešeno! Na levi strani enačbe je eksponentna funkcija, na desni strani enačbe je eksponentna funkcija, nikjer drugje ni ničesar razen njih. Zato je mogoče "zavreči" osnove in neumno enačiti kazalnike:

Dobili smo najpreprostejšo linearno enačbo, ki jo lahko vsak študent reši v samo nekaj vrsticah. V redu, v štirih vrsticah:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Če ne razumete, kaj se je zgodilo v zadnjih štirih vrsticah, se vrnite na temo "linearne enačbe" in jo ponovite. Ker je brez jasne asimilacije te teme prezgodaj, da bi se lotili eksponentnih enačb.

\[((9)^(x))=-3\]

No, kako se odločiš? Prva misel: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, zato lahko prvotno enačbo prepišemo takole:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Nato se spomnimo, da se pri dvigu stopnje na moč indikatorji pomnožijo:

\[((\levo(((3)^(2)) \desno))^(x))=((3)^(2x))\Desna puščica ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

In za tako odločitev dobimo pošteno zasluženo dvojko. Kajti mi smo z ravnodušnostjo Pokémona znak minus pred trojko poslali na potenco prav te trojke. In tega ne moreš storiti. In zato. Oglejte si različne moči trojčka:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Pri sestavljanju te tablice se nisem sprevrgel takoj, ko sem: upošteval sem pozitivne stopinje, negativne in celo delne ... no, kje je tukaj vsaj ena negativna številka? On ni! In ne more biti, ker eksponentna funkcija $y=((a)^(x))$, prvič, vedno zavzema samo pozitivne vrednosti (ne glede na to, koliko pomnožite ena ali delite z dve, bo še vedno pozitivno število), in drugič, osnova takšne funkcije, število $a$, je po definiciji pozitivno število!

No, kako potem rešiti enačbo $((9)^(x))=-3$? Ne, ni korenin. In v tem smislu so eksponentne enačbe zelo podobne kvadratnim - morda tudi ni korenin. Če pa je v kvadratnih enačbah število korenin določeno z diskriminantom (diskriminant je pozitiven - 2 korena, negativen - brez korenin), potem je v eksponentnih enačbah vse odvisno od tega, kaj je desno od znaka enakovrednosti.

Tako oblikujemo ključni sklep: najenostavnejša eksponentna enačba oblike $((a)^(x))=b$ ima koren takrat in samo, če je $b>0$. Če poznate to preprosto dejstvo, lahko zlahka ugotovite, ali ima predlagana enačba korenine ali ne. Tisti. ali se ga sploh splača reševati ali takoj zapisati, da ni korenin.

To znanje nam bo večkrat pomagalo, ko bomo morali reševati zahtevnejše probleme. Vmes pa dovolj besedil - čas je, da preučimo osnovni algoritem za reševanje eksponentnih enačb.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Torej, formulirajmo problem. Treba je rešiti eksponentno enačbo:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Po "naivnem" algoritmu, ki smo ga uporabili prej, je treba število $b$ predstaviti kot potenco števila $a$:

Poleg tega, če je namesto spremenljivke $x$ katerikoli izraz, dobimo novo enačbo, ki jo je že mogoče rešiti. Na primer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Desna puščica ((3)^(-x))=((3)^(4))\Desna puščica -x=4\Desna puščica x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Desna puščica ((5)^(2x))=((5)^(3))\Desna puščica 2x=3\Desna puščica x=\frac(3)( 2). \\\konec(poravnaj)\]

In nenavadno je, da ta shema deluje v približno 90% primerov. Kaj pa potem ostalih 10%? Preostalih 10% so rahlo "shizofrene" eksponentne enačbe oblike:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na kakšno potenco morate dvigniti 2, da dobite 3? V prvem? Ampak ne: $((2)^(1))=2$ ni dovolj. V drugem? Niti: $((2)^(2))=4$ ni preveč. Kaj potem?

Poznavalci so verjetno že uganili: v takih primerih, ko je nemogoče rešiti "lepo", je na primer povezana "težka artilerija" - logaritmi. Naj vas spomnim, da lahko z uporabo logaritmov vsako pozitivno število predstavimo kot potenco katerega koli drugega pozitivnega števila (z izjemo enega):

Se spomnite te formule? Ko svojim učencem govorim o logaritmih, vas vedno opozorim: ta formula (je tudi osnovna logaritemska identiteta ali, če hočete, definicija logaritma) vas bo preganjala zelo dolgo in se »pojavila« v najbolj nepričakovana mesta. Pa se je pojavila. Poglejmo našo enačbo in to formulo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Če predpostavimo, da je $a=3$ naše prvotno število na desni in je $b=2$ sama osnova eksponentne funkcije, na katero tako želimo reducirati desno stran, dobimo naslednje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Desna puščica ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Desna puščica x=( (\log )_(2))3. \\\konec(poravnaj)\]

Dobili smo nekoliko čuden odgovor: $x=((\log )_(2))3$. Pri kakšni drugi nalogi bi ob takšnem odgovoru marsikdo podvomil in začel preverjati svojo rešitev: kaj pa, če je bila kje napaka? Hitro vas prosim: tukaj ni nobene napake in logaritmi v koreninah eksponentnih enačb so precej tipična situacija. Tako da se navadi. :)

Sedaj po analogiji rešimo preostali dve enačbi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Desna puščica ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Desna puščica 2x=( (\log )_(4))11\desna puščica x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Mimogrede, zadnji odgovor je mogoče zapisati drugače:

Mi smo bili tisti, ki smo uvedli množitelj v argument logaritma. Toda nihče nam ne preprečuje, da bi temu faktorju dodali osnovo:

Poleg tega so vse tri možnosti pravilne - gre le za različne oblike pisanja iste številke. Katerega boste izbrali in zapisali v to odločitev, je vaša odločitev.

Tako smo se naučili reševati poljubne eksponentne enačbe oblike $((a)^(x))=b$, kjer sta števili $a$ in $b$ strogo pozitivni. Vendar pa je kruta realnost našega sveta takšna, da se s tako preprostimi nalogami srečujete zelo, zelo redko. Pogosteje boste naleteli na nekaj takega:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

No, kako se odločiš? Je to sploh mogoče rešiti? In če da, kako?

Brez panike. Vse te enačbe se hitro in preprosto zmanjšajo na tiste preproste formule, ki smo jih že obravnavali. Vedeti morate le, da si zapomnite nekaj trikov iz tečaja algebre. In seveda tukaj ni pravil za delo z diplomami. Zdaj bom govoril o vsem tem. :)

Transformacija eksponentnih enačb

Najprej si moramo zapomniti, da je treba vsako eksponentno enačbo, ne glede na to, kako zapletena je, tako ali drugače zreducirati na najpreprostejše enačbe – prav tiste, ki smo jih že obravnavali in jih znamo rešiti. Z drugimi besedami, shema za reševanje katere koli eksponentne enačbe izgleda takole:

1. Zapišite prvotno enačbo. Na primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Naredi kakšno neumnost. Ali celo kakšno sranje, imenovano "transformiraj enačbo";
3. Na izhodu dobite najpreprostejše izraze, kot je $((4)^(x))=4$ ali kaj podobnega. Poleg tega lahko ena začetna enačba poda več takih izrazov hkrati.

S prvo točko je vse jasno - celo moja mačka zna enačbo napisati na list. Tudi s tretjo točko je, kot kaže, bolj ali manj jasno - zgoraj smo rešili že cel kup takih enačb.

Kaj pa druga točka? Kakšne so transformacije? Kaj pretvoriti v kaj? In kako?

No, poglejmo. Najprej bi rad opozoril na naslednje. Vse eksponentne enačbe so razdeljene v dve vrsti:

1. Enačba je sestavljena iz eksponentnih funkcij z isto bazo. Primer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula vsebuje eksponentne funkcije z različnimi bazami. Primeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ in $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Začnimo z enačbami prve vrste – te so najlažje rešljive. In pri njihovi rešitvi nam bo pomagala taka tehnika, kot je izbira stabilnih izrazov.

Poudarjanje stabilnega izraza

Poglejmo še enkrat to enačbo:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Kaj vidimo? Štirje so povišani na različne stopnje. Toda vse te potence so preproste vsote spremenljivke $x$ z drugimi števili. Zato se je treba spomniti pravil za delo z diplomami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\konec(poravnaj)\]

Preprosto povedano, seštevanje eksponentov je mogoče pretvoriti v produkt potenc, odštevanje pa enostavno pretvoriti v deljenje. Poskusimo te formule uporabiti za potence iz naše enačbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\konec(poravnaj)\]

Prvotno enačbo prepišemo ob upoštevanju tega dejstva in nato zberemo vse člene na levi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -enajst; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prvi štirje členi vsebujejo element $((4)^(x))$ — vzemimo ga iz oklepaja:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \desno)=-11. \\\konec(poravnaj)\]

Ostaja še, da oba dela enačbe razdelimo z ulomkom $-\frac(11)(4)$, tj. v bistvu pomnožite z obrnjenim ulomkom - $-\frac(4)(11)$. Dobimo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Prvotno enačbo smo skrčili na najpreprostejšo in dobili končni odgovor.

Hkrati smo v procesu reševanja odkrili (in celo vzeli iz oklepaja) skupni faktor $((4)^(x))$ - to je stabilen izraz. Lahko jo označite kot novo spremenljivko ali pa jo preprosto natančno izrazite in dobite odgovor. V vsakem primeru je ključno načelo rešitve naslednje:

V izvirni enačbi poiščite stabilen izraz, ki vsebuje spremenljivko, ki jo je zlahka ločiti od vseh eksponentnih funkcij.

Dobra novica je, da skoraj vsaka eksponentna enačba dopušča tako stabilen izraz.

Obstaja pa tudi slaba novica: takšni izrazi so lahko zelo zapleteni in jih je precej težko razlikovati. Pa poglejmo še en problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Morda bo kdo zdaj imel vprašanje: "Paša, ali si kamenjen? Tukaj so različne baze - 5 in 0,2. Toda poskusimo pretvoriti potenco z osnovo 0,2. Na primer, znebimo se decimalnega ulomka in ga pripeljemo do običajnega:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(2)(10 ) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)) )\]

Kot lahko vidite, se je številka 5 vseeno pojavila, čeprav v imenovalcu. Hkrati je bil kazalnik prepisan kot negativen. In zdaj se spomnimo enega najpomembnejših pravil za delo z diplomami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Desna puščica ((\levo(\frac(1)(5) \desno))^( -\levo(x+1 \desno)))=((\levo(\frac(5)(1) \desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tukaj sem seveda malo goljufal. Kajti za popolno razumevanje je bilo treba formulo za odpravo negativnih indikatorjev napisati takole:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\levo(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \desno)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Po drugi strani pa nam nič ni preprečilo delati samo z enim ulomkom:

\[((\levo(\frac(1)(5) \desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((\levo(((5)^(-1)) \ desno))^(-\levo(x+1 \desno)))=((5)^(\levo(-1 \desno)\cdot \levo(-\levo(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Toda v tem primeru morate imeti možnost dvigniti diplomo na drugo stopnjo (opominjam vas: v tem primeru se kazalniki seštevajo). Vendar mi ni bilo treba "obrniti" ulomkov - morda bo komu lažje. :)

V vsakem primeru bo prvotna eksponentna enačba prepisana kot:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\konec(poravnaj)\]

Tako se izkaže, da je prvotno enačbo še lažje rešiti kot prej obravnavano: tukaj vam sploh ni treba izpostaviti stabilnega izraza - vse se je zmanjšalo samo po sebi. Zapomniti si moramo le, da je $1=((5)^(0))$, od koder dobimo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\konec(poravnaj)\]

To je vsa rešitev! Dobili smo končni odgovor: $x=-2$. Hkrati bi rad opozoril na en trik, ki nam je močno poenostavil vse izračune:

V eksponentnih enačbah se znebite decimalnih ulomkov in jih prevedite v navadne. Tako boste lahko videli enake osnove stopinj in močno poenostavili rešitev.

Zdaj pa preidimo na bolj zapletene enačbe, v katerih so različne baze, ki jih na splošno ni mogoče reducirati druga na drugo s potenci.

Uporaba lastnosti eksponenta

Naj vas spomnim, da imamo še dve posebej ostri enačbi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\konec(poravnaj)\]

Glavna težava pri tem je, da ni jasno, kaj in na kakšno osnovo voditi. Kje so ustaljeni izrazi? Kje so skupne točke? Nič od tega ni.

Toda poskusimo iti v drugo smer. Če ni pripravljenih enakih baz, jih lahko poskusite najti tako, da faktorizirate razpoložljive baze.

Začnimo s prvo enačbo:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\desna puščica ((21)^(3x))=((\levo(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\konec(poravnaj)\]

Toda navsezadnje lahko storite nasprotno - sestavite številko 21 iz številk 7 in 3. To je še posebej enostavno narediti na levi, saj sta indikatorja obeh stopinj enaka:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Eksponent ste vzeli iz produkta in takoj dobili čudovito enačbo, ki jo je mogoče rešiti v nekaj vrsticah.

Zdaj pa se posvetimo drugi enačbi. Tukaj je vse veliko bolj zapleteno:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\levo(\frac(27)(10) \desno))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tem primeru se je izkazalo, da so ulomki nezmanjšani, če pa je mogoče nekaj zmanjšati, se prepričajte, da to zmanjšate. To bo pogosto povzročilo zanimive podlage, s katerimi lahko že delate.

Na žalost nismo prišli do ničesar. Toda vidimo, da sta eksponenta na levi v produktu nasprotna:

Naj vas spomnim: da se znebite znaka minus v eksponentu, morate samo "obrniti" ulomek. Torej prepišimo prvotno enačbo:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\levo(100\cdot \frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\levo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\konec(poravnaj)\]

V drugi vrstici smo vsoto zmnožka samo oklepali v skladu s pravilom $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, pri slednjem pa so število 100 preprosto pomnožili z ulomkom.

Upoštevajte, da sta številki na levi (na dnu) in na desni nekoliko podobni. kako Da, očitno: gre za potence istega števila! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\konec(poravnaj)\]

Tako bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \desno))^(2))\]

\[((\levo(((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3)) \desno))^(x-1))=((\levo(\frac(10) )(3) \desno))^(3\levo(x-1 \desno)))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(3x-3))\]

Hkrati lahko na desni strani dobite tudi diplomo z isto osnovo, za katero je dovolj le »obrniti« ulomek:

\[((\levo(\frac(3)(10) \desno))^(2))=((\levo(\frac(10)(3) \desno))^(-2))\]

Končno bo naša enačba dobila obliko:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\konec(poravnaj)\]

To je vsa rešitev. Njena glavna ideja se spušča v dejstvo, da tudi z različnimi razlogi poskušamo te razloge s kavljem ali zvijačo zreducirati na istega. Pri tem so nam v pomoč elementarne transformacije enačb in pravila za delo s potencami.

Toda kakšna pravila in kdaj uporabiti? Kako razumeti, da morate v eni enačbi obe strani razdeliti na nekaj, v drugi pa razstaviti osnovo eksponentne funkcije na faktorje?

Odgovor na to vprašanje bo prišel z izkušnjami. Najprej se preizkusite v preprostih enačbah, nato pa naloge postopoma zapletajte - in zelo kmalu bodo vaše sposobnosti dovolj za reševanje katere koli eksponentne enačbe iz istega USE ali katerega koli samostojnega / testnega dela.

In da vam pomagam pri tej težki nalogi, predlagam, da na svoje spletno mesto prenesete nabor enačb za neodvisno rešitev. Vse enačbe imajo odgovore, zato se lahko vedno preverite sami.

Na youtube kanal našega spletnega mesta, da boste seznanjeni z vsemi novimi video lekcijami.

Najprej se spomnimo osnovnih formul stopinj in njihovih lastnosti.

Produkt števila a zgodi sam od sebe n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potenčne ali eksponentne enačbe- to so enačbe, v katerih so spremenljivke v potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.

Primeri eksponentnih enačb:

V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali mera.

Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?

Vzemimo preprosto enačbo:

2 x = 2 3

Takšen primer je mogoče rešiti tudi v mislih. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako je treba sprejeti to odločitev:

2 x = 2 3
x = 3

Za rešitev te enačbe smo odstranili isti razlogi(to je dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.

Zdaj pa povzamemo našo rešitev.

Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali sta osnovi enačbe na desni in na levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko so osnove enake, enačiti stopnjo in rešite nastalo novo enačbo.

Zdaj pa rešimo nekaj primerov:

Začnimo preprosto.

Osnovi na levi in ​​desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni stopnji izenačimo.

x+2=4 Izkazala se je najpreprostejša enačba.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

V naslednjem primeru lahko vidite, da sta osnovi različni, to sta 3 in 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za začetek prenesemo devet na desno stran, dobimo:

Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=3 2 . Uporabimo formulo za moč (a n) m = a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dobimo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 zdaj je jasno, da sta osnovi na levi in ​​desni strani enaki in enaki tri, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.

3x=2x+16 dobimo najpreprostejšo enačbo
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Poglejmo si naslednji primer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Najprej pogledamo baze, baze so različne dve in štiri. In moramo biti enaki. Četverico transformiramo po formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj v enačbo:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Iz istih razlogov smo dali primer. Motijo ​​pa nas druge številke 10 in 24. Kaj storiti z njima? Če pogledate natančno, vidite, da na levi strani ponavljamo 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko damo iz oklepaja:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz v oklepajih:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celotno enačbo delimo s 6:

Predstavljajte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 sta osnovi enaki, zavrzite ju in izenačite stopnje.
Izkazalo se je, da je 2x \u003d 2 najpreprostejša enačba. Delimo z 2, dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo enačbo:

9 x - 12*3 x +27= 0

Preobrazimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naši osnovi sta enaki, enaki 3. V tem primeru je jasno, da ima prva trojka stopnjo dvakrat (2x) kot druga (samo x). V tem primeru se lahko odločite substitucijska metoda. Število z najmanjšo stopnjo se nadomesti z:

Nato 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vse stopnje zamenjamo z x v enačbi s t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobimo kvadratno enačbo. Rešujemo preko diskriminante, dobimo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Nazaj na spremenljivko x.

Vzamemo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to je

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Najden je bil en koren. Iščemo drugega, iz t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na spletnem mestu lahko v razdelku POMAGAJTE ODLOČITI postavite vprašanja, ki vas zanimajo, zagotovo vam bomo odgovorili.

Pridružite se skupini