Spletni kalkulator s formulo pravokotnega trapeza. Območje trapeza

V matematiki je znanih več vrst štirikotnikov: kvadrat, pravokotnik, romb, paralelogram. Med njimi je trapez - nekakšen konveksni štirikotnik, v katerem sta dve strani vzporedni, drugi dve pa ne. Vzporedni nasprotni strani imenujemo osnove, drugi dve pa strani trapeza. Odsek, ki povezuje središča stranic, se imenuje srednja črta. Obstaja več vrst trapeza: enakokraki, pravokotni, ukrivljeni. Za vsako vrsto trapeza obstajajo formule za iskanje površine.

Območje trapeza

Če želite najti površino trapeza, morate poznati dolžino njegovih osnov in njegovo višino. Višina trapeza je odsek, ki je pravokoten na osnove. Naj bo zgornja osnova a, spodnja b in višina h. Nato lahko izračunate površino S po formuli:

S = ½ * (a + b) * h

tiste. vzemite polovico vsote osnov, pomnožene z višino.

Površino trapeza lahko izračunate tudi, če poznate vrednost višine in srednje črte. Označimo srednjo črto - m. Potem

Rešimo problem bolj zapleteno: poznamo dolžine štirih stranic trapeza - a, b, c, d. Nato površino najdemo po formuli:

Če so znane dolžine diagonal in kot med njimi, potem iščemo površino na naslednji način:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

kjer sta d z indeksoma 1 in 2 diagonali. V tej formuli je pri izračunu podan sinus kota.

Z znanimi dolžinami osnove a in b ter dvema kotoma na spodnji bazi se površina izračuna na naslednji način:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Območje enakokrakega trapeza

Enakokraki trapez je poseben primer trapeza. Njegova razlika je v tem, da je tak trapez konveksen štirikotnik s simetrično osjo, ki poteka skozi središča dveh nasprotnih strani. Njegove stranice so enake.

Obstaja več načinov za iskanje površine enakokrakega trapeza.

• Skozi dolžine treh stranic. V tem primeru se bodo dolžine strani ujemale, zato so označene z eno vrednostjo - c, a in b - dolžine baz:

• Če so znani dolžina zgornje osnove, stranske strani in kota spodnje osnove, se površina izračuna na naslednji način:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kjer je a zgornja osnova, c je stran.

• Če je namesto zgornje osnove znana dolžina spodnje baze - b, se površina izračuna po formuli:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

• Če sta znani dve bazi in kot pri spodnji bazi, se površina izračuna s tangentom kota:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• Tudi površina se izračuna prek diagonal in kota med njimi. V tem primeru so diagonale enake dolžine, zato je vsaka označena s črko d brez indeksov:

S = ½ * d2 * sinα

• Izračunajte površino trapeza, pri čemer poznate dolžino stranske strani, srednjo črto in kot na spodnji podlagi.

Naj bo stran - c, srednja črta - m, vogal - a, nato:

S = m * c * sinα

Včasih je mogoče v enakostranični trapez vpisati krog, katerega polmer bo - r.

Znano je, da je krog mogoče vpisati v kateri koli trapez, če je vsota dolžin osnov enaka vsoti dolžin njegovih stranic. Potem se območje najde skozi polmer vpisane kroge in kot na spodnji osnovi:

S = 4r2 / sinα

Enak izračun se izvede preko premera D vpisanega kroga (mimogrede, sovpada z višino trapeza):

Če poznamo osnove in kot, se površina enakokrakega trapeza izračuna na naslednji način:

S = a*b/sinα

(ta in naslednje formule veljajo samo za trapeze z vpisanim krogom).

Skozi osnove in polmer kroga iščemo površino na naslednji način:

Če so znane samo baze, se površina izračuna po formuli:

Skozi osnove in stransko črto se površina trapeza z vpisanim krogom ter skozi osnove in sredinsko črto - m izračuna na naslednji način:

Območje pravokotnega trapeza

Trapez se imenuje pravokoten, pri katerem je ena od stranic pravokotna na osnove. V tem primeru dolžina stranic sovpada z višino trapeza.

Pravokotni trapez je kvadrat in trikotnik. Ko najdete površino vsake od številk, seštejte rezultate in dobite skupno površino figure.

Tudi splošne formule za izračun površine trapeza so primerne za izračun površine pravokotnega trapeza.

• Če so znane dolžine baz in višina (ali pravokotna stranica), se površina izračuna po formuli:

S = (a + b) * h / 2

Ker je h (višina) lahko stran z. Potem formula izgleda takole:

S = (a + b) * c / 2

• Drug način za izračun površine je, da pomnožite dolžino srednje črte z višino:

ali po dolžini bočne pravokotne stranice:

• Naslednja metoda izračuna je skozi polovico produkta diagonal in sinusa kota med njimi:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

Če so diagonale pravokotne, se formula poenostavi na:

S = ½ * d1 * d2

• Drug način za izračun je preko pol oboda (vsota dolžin dveh nasprotnih strani) in polmera vpisanega kroga.

Ta formula velja za baze. Če vzamemo dolžine stranic, bo ena od njih enaka dvakratnemu polmeru. Formula bo videti takole:

S = (2r + c) * r

• Če je krog vpisan v trapez, se površina izračuna na enak način:

kjer je m dolžina srednje črte.

Območje ukrivljenega trapeza

Krivolinijski trapez je ravna figura, omejena z grafom nenegativne zvezne funkcije y = f(x), definirane na odseku , osi x in ravnih črtah x = a, x = b. Pravzaprav sta dve njeni strani vzporedni med seboj (baze), tretja stran je pravokotna na osnove, četrta pa je krivulja, ki ustreza grafu funkcije.

Površino krivolinijskega trapeza iščemo preko integrala z uporabo Newton-Leibnizove formule:

Tako se izračunajo površine različnih vrst trapezov. Toda poleg lastnosti stranic imajo trapezi enake lastnosti kotov. Kot vsi obstoječi štirikotniki je vsota notranjih kotov trapeza 360 stopinj. In vsota kotov, ki mejijo na stran, je 180 stopinj.

Trapez se imenuje štirikotnik samo dva strani so med seboj vzporedne.

Imenujejo se osnove figure, ostalo - stranice. Paralelogram velja za poseben primer figure. Obstaja tudi krivolinijski trapez, ki vključuje funkcijski graf. Formule za površino trapeza vključujejo skoraj vse njegove elemente, najboljša rešitev pa je izbrana glede na dane vrednosti.
Glavni vlogi v trapezu sta dodeljeni višini in srednji črti. srednja črta- to je črta, ki povezuje središča stranic. Višina trapezij se drži pod pravim kotom od zgornjega vogala do osnove.
Površina trapeza skozi višino je enaka zmnožku polovice vsote dolžin osnov, pomnoženega z višino:

Če je srednja črta znana glede na pogoje, je ta formula močno poenostavljena, saj je enaka polovici vsote dolžin baz:

Če so glede na pogoje podane dolžine vseh stranic, lahko razmislimo o primeru izračuna površine trapeza s pomočjo teh podatkov:

Recimo, da je podan trapez z osnovami a = 3 cm, b = 7 cm in stranicami c = 5 cm, d = 4 cm. Poiščite površino figure:

Območje enakokrakega trapeza

Ločen primer je enakokraki ali, kot se imenuje tudi enakokraki trapez.
Poseben primer je tudi iskanje površine enakokrakega (enakokrakega) trapeza. Formula je izpeljana na različne načine - skozi diagonale, skozi kote, ki mejijo na osnovo in polmer vpisanega kroga.
Če je dolžina diagonal določena s pogoji in je kot med njimi znan, lahko uporabite naslednjo formulo:

Ne pozabite, da sta diagonali enakokrakega trapeza enaki!

Se pravi, če poznate eno od njihovih osnov, stranico in kot, lahko enostavno izračunate površino.

Območje ukrivljenega trapeza

Poseben primer je krivolinijski trapez. Nahaja se na koordinatni osi in je omejena na graf neprekinjene pozitivne funkcije.

Njegova osnova se nahaja na osi X in je omejena na dve točki:
Integrali pomagajo izračunati površino ukrivljenega trapeza.
Formula je zapisana takole:

Razmislite o primeru izračuna površine ukrivljenega trapeza. Formula zahteva določeno znanje za delo z določenimi integrali. Najprej analizirajmo vrednost določenega integrala:

Tukaj je F(a) vrednost antiderivacijske funkcije f(x) v točki a, F(b) je vrednost iste funkcije f(x) v točki b.

Zdaj pa rešimo problem. Slika prikazuje krivolinijski trapez, omejen s funkcijo. Funkcija
Najti moramo območje izbrane figure, ki je krivolinijski trapez, na vrhu omejen z grafom, na desni je ravna črta x = (-8), na levi je ravna črta x = ( -10) in os OX je spodaj.
Površino te figure bomo izračunali s formulo:

Funkcijo dobimo s pogoji problema. Z njegovo uporabo bomo našli vrednosti antiderivata na vsaki naši točki:


zdaj
odgovor: površina danega ukrivljenega trapeza je 4.

Pri izračunu te vrednosti ni nič težko. Pomembna je le največja previdnost pri izračunih.

Obstaja veliko načinov za iskanje površine trapeza. Ponavadi učitelj matematike pozna več načinov za izračun, poglejmo jih podrobneje:
1) , kjer sta AD in BC bazi, BH pa višina trapeza. Dokaz: narišite diagonalo BD in izrazite ploskvi trikotnikov ABD in CDB s polovičnim produktom njunih osnov in višine:

, kjer je DP zunanja višina v

Te enakosti seštejemo člen za členom in glede na to, da sta višini BH in DP enaki, dobimo:

Vzemimo ga iz oklepaja

Q.E.D.

Posledica iz formule za površino trapeza:
Ker je polovična vsota osnov enaka MN - srednja črta trapeza, potem

2) Uporaba splošne formule za površino štirikotnika.
Površina štirikotnika je polovica produkta diagonal, pomnoženega s sinusom kota med njima
Da bi to dokazali, je dovolj, da razdelite trapez na 4 trikotnike, izrazite površino vsakega v smislu "polovičnega produkta diagonal in sinusa kota med njimi" (vzamemo ga kot kot , dodajte dobljene izraze, ga postavite iz oklepaja in ta oklepaj razstavite na faktorje z uporabo metode združevanja, da dobite njegovo enakost z izrazom. Od tu

3) Metoda diagonalnega premika
To je moj naslov. V šolskih učbenikih učitelj matematike ne bo našel takšnega naslova. Opis tehnike lahko najdete le v dodatnih vadnicah kot primer reševanja problema. Ugotavljam, da mentorji matematike študentom v procesu praktičnega dela razkrijejo večino zanimivosti in uporabnih dejstev planimetrije. To je izjemno neoptimalno, saj jih mora študent ločiti v ločene izreke in jih poimenovati "velika imena". Eden od teh je "diagonalni premik". za kaj gre? Skozi oglišče B potegnimo ravno črto, vzporedno z AC, dokler se ne seka s spodnjo bazo v točki E. V tem primeru bo štirikotnik EBCA paralelogram (po definiciji) in zato BC=EA in EB=AC. Zdaj nas skrbi prva enakost. Imamo:

Upoštevajte, da ima trikotnik BED, katerega površina je enaka površini trapeza, več drugih izjemnih lastnosti:
1) Njegova površina je enaka površini trapeza
2) Njegov enakokraki se pojavi hkrati z enakokraki samega trapeza
3) Njegov zgornji kot na točki B je enak kotu med diagonaloma trapeza (kar se zelo pogosto uporablja pri težavah)
4) Njegova mediana BK je enaka razdalji QS med sredinama osnov trapeza. Pred kratkim sem naletel na uporabo te lastnosti pri pripravi študenta za Mehmat Moskovske državne univerze z uporabo Tkachukovega učbenika, različica 1973 (naloga je podana na dnu strani).

Posebne ponudbe mentorjev matematike.

Včasih predlagam naloge na zelo zapleten način iskanja kvadrata trapeza. To pripisujem posebnim potezam, saj jih v praksi učitelj le redko uporablja. Če se morate na izpit iz matematike pripraviti samo v delu B, o njih ne morete brati. Za druge vam povem več. Izkazalo se je, da je površina trapeza dvakrat večja od površine trikotnika z oglišči na koncih ene strani in sredino druge, torej trikotnika ABS na sliki:
Dokaz: narišite višine SM in SN v trikotnika BCS in ADS in izrazite vsoto površin teh trikotnikov:

Ker je točka S središče CD-ja, potem (dokažite sami). Najdimo vsoto površin trikotnikov:

Ker se je izkazalo, da je ta količina enaka polovici površine trapeza, potem - njegovi drugi polovici. Ch.t.d.

Obliko za izračun površine enakokrakega trapeza vzdolž njegovih stranic bi vključil v zakladnico posebnih gibov mentorja: kjer je p pol-obod trapeza. Ne bom dal dokazov. V nasprotnem primeru bo vaš mentor matematike brez dela :). Pridi v razred!

Naloge za območje trapeza:

Opomba učitelja matematike: Spodnji seznam ni metodološka podpora temi, je le majhen izbor zanimivih nalog za zgornje metode.

1) Spodnja osnova enakokrakega trapeza je 13, zgornja pa 5. Poiščite površino trapeza, če je njegova diagonala pravokotna na stranico.
2) Poišči površino trapeza, če sta njegovi osnovi 2 cm in 5 cm, stranice pa 2 cm in 3 cm.
3) V enakokrakem trapezu je večja osnova 11, stranica 5, diagonala pa Najdi površino trapeza.
4) Diagonala enakokrakega trapeza je 5, srednja črta pa 4. Poiščite površino.
5) V enakokrakem trapezu sta bazi 12 in 20, diagonali pa medsebojno pravokotni. Izračunaj površino trapeza
6) Diagonala enakokrakega trapeza tvori kot s spodnjo osnovo. Poiščite površino trapeza, če je njegova višina 6 cm.
7) Površina trapeza je 20, ena od njegovih stranic pa 4 cm. Poiščite razdaljo do njega od sredine nasprotne strani.
8) Diagonala enakokrakega trapeza ga razdeli na trikotnike s površinama 6 in 14. Poiščite višino, če je stranica 4.
9) V trapezu sta diagonali 3 in 5, segment, ki povezuje središča osnov, pa je 2. Poiščite površino trapeza (Mekhmat Moskovske državne univerze, 1970).

Izbral sem ne najtežje naloge (ne bojte se mekhmata!) s pričakovanjem možnosti njihove samostojne rešitve. Odločite se za zdravje! Če se morate pripraviti na izpit iz matematike, potem brez sodelovanja formule trapeznega območja v tem procesu lahko nastanejo resne težave tudi pri nalogi B6, še bolj pa pri C4. Ne začnite teme in v primeru kakršnih koli težav prosite za pomoč. Učitelj matematike vam vedno z veseljem pomaga.

Kolpakov A.N.
Učitelj matematike v Moskvi, priprava na izpit v Stroginu.

Trapez je posebna vrsta štirikotnika, pri katerem sta dve nasprotni strani vzporedni drug z drugim, drugi dve pa ne. Različni resnični predmeti imajo trapezoidno obliko, zato boste morda morali izračunati obseg takšne geometrijske figure za reševanje vsakdanjih ali šolskih problemov.

Trapezna geometrija

Trapez (iz grškega "trapezion" - miza) je lik na ravnini, omejen s štirimi segmenti, od katerih sta dva vzporedna, dva pa ne. Vzporedni segmenti se imenujejo osnove trapeza, nevzporedni pa stranice figure. Stranice in njihovi koti naklona določajo vrsto trapeza, ki je lahko vsestranski, enakokraki ali pravokoten. Poleg osnov in stranic ima trapez še dva elementa:

• višina - razdalja med vzporednima osnovama figure;
• srednja črta - segment, ki povezuje središča stranic.

Ta geometrijska figura je v resničnem življenju zelo razširjena.

Trapez v resnici

V vsakdanjem življenju številni resnični predmeti dobijo trapezoidno obliko. Trapezije lahko zlahka najdete na naslednjih področjih človeške dejavnosti:

• notranja oprema in dekor - zofe, pulti, stene, preproge, spuščeni stropi;
• krajinsko oblikovanje - obrobe travnikov in umetnih rezervoarjev, oblike dekorativnih elementov;
• moda - oblika oblačil, čevljev in dodatkov;
• arhitektura - okna, stene, temelji stavb;
• proizvodnja - različni izdelki in detajli.

Pri tako široki uporabi trapeza morajo strokovnjaki pogosto izračunati obseg geometrijske figure.

Obod trapeza

Obseg figure je številčna karakteristika, ki se izračuna kot vsota dolžin vseh stranic n-kotnika. Trapez je štirikotnik in v splošnem primeru imajo vse njegove stranice različne dolžine, zato se obseg izračuna po formuli:

P = a + b + c + d,

kjer sta a in c bazi slike, b in d sta njeni strani.

Čeprav nam višine pri izračunu oboda trapeza ni treba poznati, zahteva koda kalkulatorja vnos te spremenljivke. Ker višina nikakor ne vpliva na izračun, lahko pri uporabi našega spletnega kalkulatorja vnesete katero koli vrednost višine, ki je večja od nič. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Robec

Recimo, da imate šal A-kroja in ga želite obrezati z resicami. Obod šala boste morali poznati, da ne boste kupili dodatnega materiala ali dvakrat šli v trgovino. Naj ima vaš enakokraki šal naslednje parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Te podatke vnesemo v spletni obrazec in dobimo odgovor v obrazcu:

Tako je obseg šala 340 cm, to pa je dolžina obrobne pletenice za njeno dekoracijo.

pobočja

Na primer, odločite se za izdelavo pobočij za nestandardna kovinsko-plastična okna, ki imajo trapezoidno obliko. Takšna okna se pogosto uporabljajo pri oblikovanju stavb in ustvarjajo kompozicijo več polkna. Najpogosteje so takšna okna izdelana v obliki pravokotnega trapeza. Ugotovimo, koliko materiala je potrebno za dokončanje pobočij takšnega okna. Standardno okno ima naslednje parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Te podatke uporabimo in dobimo rezultat v obliki

Zato je obseg trapeznega okna 390 cm in toliko boste morali kupiti plastičnih plošč za oblikovanje pobočij.

Zaključek

Trapez je figura, priljubljena v vsakdanjem življenju, katere opredelitev parametrov bo morda potrebna v najbolj nepričakovanih situacijah. Izračun obod s trapezom je potreben za številne strokovnjake: od inženirjev in arhitektov do oblikovalcev in mehanikov. Naš katalog spletnih kalkulatorjev vam bo omogočil izračune za vse geometrijske oblike in trdna telesa.

IN . Zdaj lahko začnemo razmišljati o vprašanju, kako najti površino trapeza. Ta naloga se v vsakdanjem življenju pojavlja zelo redko, včasih pa se izkaže, da je treba na primer najti površino prostora v obliki trapeza, ki se vse pogosteje uporablja pri gradnji sodobnih stanovanj, ali v projektih obnove.

Trapez je geometrijska figura, sestavljena iz štirih sekajočih se segmentov, od katerih sta dva vzporedna drug z drugim in se imenujeta osnove trapeza. Druga dva segmenta se imenujeta stranice trapeza. Poleg tega bomo kasneje potrebovali še eno definicijo. To je srednja črta trapeza, ki je segment, ki povezuje središča stranic in višino trapeza, ki je enaka razdalji med osnovama.
Tako kot trikotniki ima tudi trapez posebne vrste v obliki enakokrakega (enakokrakega) trapeza, pri katerem so dolžine strani enake, in pravokotnega trapeza, pri katerem ena od stranic tvori pravi kot z osnovami.

Trapezi imajo nekaj zanimivih lastnosti:

1. Srednja črta trapeza je polovica vsote osnov in je vzporedna z njimi.
   
2. Enakokraki trapezi imajo enake stranice in kote, ki jih tvorijo z osnovami.
   
3. Sredina diagonal trapeza in presečišča njegovih diagonal sta na isti ravni črti.
   
4. Če je vsota stranic trapeza enaka vsoti osnov, potem je mogoče vanj vpisati krog
   
5. Če je vsota kotov, ki jih tvorijo stranice trapeza na kateri koli od njegovih osnov, 90, je dolžina odseka, ki povezuje središča osnov, enaka njihovi polovični razliki.
   
6. Enakokraki trapez lahko opišemo s krogom. In obratno. Če je trapez vpisan v krog, potem je enakokraki.
   
7. Odsek, ki poteka skozi središča osnov enakokrakega trapeza, bo pravokoten na njegove osnove in predstavlja os simetrije.
   

Kako najti površino trapeza.

Površina trapeza bo polovica vsote njegovih osnov, pomnožena z njegovo višino. V obliki formule je to zapisano kot izraz:

kjer je S površina trapeza, a, b dolžina vsake od osnov trapeza, h višina trapeza.

Vsak trapez lahko razgradite tudi na enostavnejše oblike: pravokotnik in en ali dva trikotnika, in če vam je lažje, potem poiščite površino trapeza kot vsoto površin njegovih sestavnih figur.

Obstaja še ena preprosta formula za izračun njegove površine. Po njem je površina trapeza enaka zmnožku njegove srednje črte in višine trapeza in je zapisana kot: S = m * h, kjer je S površina, m dolžina srednja črta, h je višina trapeza. Ta formula je bolj primerna za matematične težave kot za vsakodnevne, saj v realnih pogojih brez predhodnih izračunov ne boste vedeli dolžine srednje črte. In poznali boste samo dolžine osnov in stranic.

V tem primeru lahko površino trapeza najdete s formulo:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kjer je S površina, a,b so osnove, c,d stranice trapeza.

Obstaja več načinov za iskanje površine trapeza. Vendar so približno tako neprijetni kot zadnja formula, kar pomeni, da se na njih nima smisla zadrževati. Zato priporočamo, da uporabite prvo formulo iz članka in vam želimo vedno natančne rezultate.