Ekvipotencialne površine in elektrostatične silnice.

Rad bi si lahko predstavljal elektrostatično polje. Polje skalarnega potenciala lahko geometrijsko predstavimo kot zbirko ekvipotencialne površine ( v ravnem primeru - črte), ali ravne površine, kot jih imenujejo matematiki:

Za vsako tako površino velja (po definiciji!) pogoj:

(*)

Ta pogoj predstavimo v ekvivalentnem zapisu:

Tukaj pripada obravnavani ploskvi, vektor je pravokoten na element ploskve (skalarni produkt neničelnih vektorjev je ravno pod tem pogojem enak nič). Imamo možnost določiti enotski normalni vektor na obravnavani površinski element:

Če se vrnemo k fiziki, sklepamo, da vektor elektrostatične poljske jakosti je pravokoten na ekvipotencialno površino tega polja!

Matematična vsebina pojma "gradient skalarnega polja":

Smer vektorja je smer, v kateri funkcija najhitreje narašča;

To je prirastek funkcije na dolžinsko enoto v smeri največjega povečanja.

Kako zgraditi ekvipotencialno površino?

Naj gre ekvipotencialna površina, podana z enačbo (*), skozi točko v prostoru s koordinatami ( x,y,z). Nastavimo npr. poljubno majhne premike dveh koordinat x=>x+dx in y=>y+dy. Iz enačbe (*) določimo zahtevani odmik dz, tako da končna točka ostane na obravnavani ekvipotencialni površini. Na ta način lahko "pridete" do želene točke na površini.

Silnica vektorskega polja.

Opredelitev. Tangenta na silnico sovpada v smeri z vektorjem, ki določa obravnavano vektorsko polje.

Vektor in vektor sta v isti smeri (tj. vzporedna drug z drugim), če

V koordinatnem zapisu imamo:

Preprosto je videti, da veljajo razmerja:

Do enakega rezultata lahko pridete, če zapišete pogoj vzporednosti dveh vektorjev z uporabo njunega navzkrižnega produkta:

Torej, imamo vektorsko polje. Razmislite o elementarnem vektorju kot element poljske črte vektorskega polja.

V skladu z definicijo poljske črte morajo biti izpolnjena naslednja razmerja:

(**)

Takole izgledajo diferencialne enačbe poljske črte. Analitično rešitev tega sistema enačb je mogoče dobiti v zelo redkih primerih (polje točkastega naboja, konstantno polje itd.). Ni pa težko grafično narisati družine silnic.

Naj gre silnica skozi točko s koordinatami ( x,y,z). Vrednosti projekcij vektorja napetosti na koordinatne smeri na tej točki so nam znane. Izberemo poljubno majhno mešanje, npr. x=>x+dx. Po enačbah (**) določimo zahtevane pomike dy in dz. Tako smo se premaknili na sosednjo točko poljske črte.Postopek gradnje se lahko nadaljuje.

NB! (Nota Bene!). Silnica ne določa popolnoma vektorja napetosti. Če je na poljski črti nastavljena pozitivna smer, je lahko vektor napetosti usmerjen v pozitivno ali negativno smer (vendar vzdolž črte!). Premica polja ne določa modula vektorja (tj. njegove vrednosti) obravnavanega vektorskega polja.

Lastnosti vnesenih geometrijskih objektov:

Ekvipotencialna površina ekvipotencialna površina

površina, katere vse točke imajo enak potencial. Ekvipotencialna površina je pravokotna na poljske črte. Površina prevodnika v elektrostatiki je ekvipotencialna površina.

ekvipotencialna ploskev, ploskev, v vseh točkah katere je potencial (cm. POTENCIAL (v fiziki)) električno polje ima enako vrednost j= konst. Na ravnini so te površine ekvipotencialne poljske črte. Uporablja se za grafični prikaz potencialne porazdelitve.
Ekvipotencialne ploskve so zaprte in se ne sekajo. Slika ekvipotencialnih površin je izvedena tako, da so potencialne razlike med sosednjimi ekvipotencialnimi površinami enake. V tem primeru je v tistih območjih, kjer so črte ekvipotencialnih površin gostejše, poljska jakost večja.
Med katerima koli točkama na ekvipotencialni ploskvi je potencialna razlika enaka nič. To pomeni, da je vektor sile na kateri koli točki trajektorije naboja vzdolž ekvipotencialne površine pravokoten na vektor hitrosti. Zato linije napetosti (cm. ELEKTRIČNA POLJSKA MOČNOST) elektrostatična polja so pravokotna na ekvipotencialno površino. Z drugimi besedami: ekvipotencialna površina je pravokotna na silnice (cm. DALJNOVODI) polje, vektor električne poljske jakosti E pa je vedno pravokoten na ekvipotencialne površine in je vedno usmerjen v smeri padajočega potenciala. Delo sil električnega polja za kakršno koli gibanje naboja vzdolž ekvipotencialne površine je nič, saj je ?j = 0.
Ekvipotencialne površine polja točkovnega električnega naboja so krogle, v središču katerih se nahaja naboj. Ekvipotencialne površine enakomernega električnega polja so ravnine, pravokotne na napetostne črte. Površina prevodnika v elektrostatičnem polju je ekvipotencialna površina.

enciklopedični slovar. 2009 .

Oglejte si, kaj je "ekvipotencialna površina" v drugih slovarjih:

Površina, katere vse točke imajo enak potencial. Ekvipotencialna površina je pravokotna na poljske črte. Površina prevodnika v elektrostatiki je ekvipotencialna površina... Veliki enciklopedični slovar

Površina, vse točke do roja imajo enak potencial. Na primer, površina prevodnika v elektrostatiki E. p. Fizični enciklopedični slovar. Moskva: Sovjetska enciklopedija. Glavni urednik A. M. Prohorov. 1983 ... Fizična enciklopedija

ekvipotencialna površina- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Engineering, Moskva, 1999] Teme iz elektrotehnike, osnovni pojmi EN površina enakega potencialaenaka energija površinaekvipotenciala ... ... Priročnik tehničnega prevajalca

Ekvipotencialne površine električnega dipola (upodobljene v temi so njihovi prečni prerezi z ravnino slike; barva pogojno prenaša vrednost potenciala na različnih točkah, najvišje vrednosti so vijolične in rdeče, n ... Wikipedia

ekvipotencialna površina- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotencialna površina vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotencialna površina, fpranc. površinska depotencialna konstanta, f; površina d'égal potentiel, f; površina… … Fizikos terminų žodynas

Površina enakega potenciala, površina katere vse točke imajo enak potencial. Na primer, površina prevodnika v elektrostatiki E. p. V polju sile so črte sile normalne (pravokotne) na E. p ... Velika sovjetska enciklopedija

- (iz lat. aequus enak in potencialen) geom. mesto točk v polju, na oko ustreza enaki vrednosti potenciala. E. p. so pravokotne na silnice. Ekvipotencial je na primer površina prevodnika v elektrostatičnem ... ... Veliki enciklopedični politehnični slovar

TEORETIČNE OSNOVE DELA.

Med močjo električne frakcije in električnim potencialom obstaja integralna in diferencialna povezava:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Električno polje lahko grafično prikažemo na dva načina, ki se med seboj dopolnjujeta: z uporabo ekvipotencialnih ploskev in napetostnih linij (silnic).

Površina, katere vse točke imajo enak potencial, se imenuje ekvipotencialna površina. Črta njenega presečišča z ravnino risbe se imenuje ekvipotencialna. Črte sile - črte, tangente na katere v vsaki točki sovpadajo s smerjo vektorja E . Na sliki 1 črtkane črte prikazujejo ekvipotenciale, polne črte pa silnice električnega polja.

Slika 1

Potencialna razlika med točkama 1 in 2 je 0, ker sta na istem ekvipotencialu. V tem primeru iz (1):

∫E dl = 0 oz ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Zaradi E in dl v izrazu (3) niso enaki 0, potem cos ( Edl ) = 0 . Zato je kot med ekvipotencialom in silnico p/2.

Iz diferencialne relacije (2) sledi, da so silnice vedno usmerjene v smeri padajočega potenciala.

Velikost električne poljske jakosti je določena z "debelino" silnic. Debelejše kot so silnice, manjša je razdalja med ekvipotenciali, tako da silnice in ekvipotenciale tvorijo "krivočrtne kvadrate". Na podlagi teh načel je mogoče sestaviti sliko silnic, ki ima sliko ekvipotenciala, in obratno.

Dovolj popolna slika ekvipotencialov polja nam omogoča, da na različnih točkah izračunamo vrednost projekcije vektorja jakosti E na izbrano smer X , povprečno na določenem intervalu koordinate ∆х :

E prim. ∆х = - ∆ j /∆х,

kje ∆х - koordinatni prirastek pri prehodu iz enega ekvipotenciala v drugega,

∆ j - ustrezno povečanje potenciala,

E prim. ∆х - pomeni E x med dvema potencialoma.

OPIS NAMESTITEV IN MERILNE TEHNIKE.

Za modeliranje električnega polja je priročno uporabiti analogijo, ki obstaja med električnim poljem, ki ga ustvarijo naelektrena telesa, in električnim poljem enosmernega toka, ki teče skozi prevodni film z enakomerno prevodnostjo. V tem primeru se lokacija silnic električnega polja izkaže za podobno lokaciji linij električnega toka.

Ista izjava velja za potenciale. Porazdelitev potencialov polja v prevodnem filmu je enaka kot v električnem polju v vakuumu.

Kot prevodni film se pri delu uporablja elektroprevodni papir z enako prevodnostjo v vseh smereh.

Elektrode so nameščene na papir tako, da je dober stik med vsako elektrodo in prevodnim papirjem.

Shema delovanja inštalacije je prikazana na sliki 2. Instalacijo sestavljajo modul II, zunanji element I, indikator III, napajalnik IV. Modul se uporablja za povezavo vseh uporabljenih naprav. Oddaljeni element je dielektrična plošča 1, na katero je nameščen list belega papirja 2, na vrhu je list kopirnega papirja 3, nato list prevodnega papirja 4, na katerega so pritrjene elektrode 5. Napaja se napetost na elektrode iz modula II s povezovalnimi žicami. Indikator III in sonda 6 se uporabljata za določanje potencialov točk na površini elektroprevodnega papirja.

Kot sonda se uporablja žica z vtičem na koncu. potencial j sonde je enak potencialu točke na površini elektroprevodnega papirja, ki se je dotika. Množica točk polja z enakim potencialom je podoba ekvipotenciala polja. Napajalna enota IV se uporablja kot napajalna enota TES - 42, ki je na modul povezana preko vtičnega konektorja na zadnji steni modula. Kot indikator Š se uporablja voltmeter V7 - 38.

VRSTNI RED IZVAJANJA DEL.

1. Na ploščo 1 položite list belega papirja. 2. Položite karbon papir 3 in nanj list prevodnega papirja 4 (slika 2).

2. Namestite elektrode 5 na električno prevodni papir in jih pritrdite z maticami.

3. Napajalno enoto IV (TEC-42) priključite na modul s pomočjo vtičnega konektorja na zadnji steni modula.

4. Z dvema žicama povežite indikator III (voltmeter V7-38) z vtičnicami "PV" na sprednji plošči modula. Za merjenje enosmerne napetosti pritisnite ustrezno tipko na voltmetru (slika 2).

5. Z dvema vodnikoma povežite elektrode 5 z modulom P.

6. Priključite sondo (žico z dvema vtičema) v vtičnico na sprednji plošči modula.

7. Stojalo priključite na omrežje 220 V. Vklopite splošno napajanje stojala.

Za vizualno predstavitev vektorskih polj se uporablja vzorec silnic. Črta sile je namišljena matematika krivulja v prostoru, smer tangente na katero v vsakem točka, skozi katero poteka, sovpada s smerjo vektorja polja na isti točki(slika 1.17).
riž. 1.17:
Pogoj vzporednosti vektorja E → in tangente lahko zapišemo kot enakost nič vektorskega produkta E → in ločnega elementa d r → poljske črte:

Ekvipotenciala je površina ki je stalna vrednost električnega potencialaφ . V polju točkovnega naboja, kot je prikazano na sl. , sferične površine s središči na mestu naboja so ekvipotencialne; to je razvidno iz enačbe ϕ = q ∕ r = const .

Če analiziramo geometrijo električnih silnic in ekvipotencialnih površin, lahko navedemo številne splošne lastnosti geometrije elektrostatičnega polja.

Prvič, črte sile se začnejo pri nabojih. Bodisi gredo v neskončnost bodisi končajo z drugimi naboji, kot na sl. .

Drugič, v potencialnem polju silnic ni mogoče skleniti. V nasprotnem primeru bi bilo mogoče označiti tako zaprto zanko, da delo električnega polja pri premikanju naboja po tej zanki ni enako nič.

Tretjič, silnice sekajo vsak ekvipotencial vzdolž normale nanj. Električno polje je namreč povsod usmerjeno v smeri najhitrejšega padanja potenciala, na ekvipotencialni površini pa je potencial po definiciji konstanten (sl. ).
riž. 1,20 :
In končno, silnice se ne sekajo nikjer, razen v točkah, kjer je E → = 0 . Sečišče poljskih črt pomeni, da je polje v presečišču dvoumna funkcija koordinat in vektor E → nima določene smeri. Edini vektor, ki ima to lastnost, je ničelni vektor. Strukturo električnega polja v bližini ničelne točke bomo analizirali v nalogah za ?? .

Metoda silnic je seveda uporabna za grafični prikaz vseh vektorskih polj. Torej, v poglavju srečali se bomo s konceptom magnetnih silnic. Vendar je geometrija magnetnega polja popolnoma drugačna od geometrije električnega polja.

riž. 1.21:
Koncept silnice je tesno povezan s pojmom cevi sile. Vzemimo poljubno zaprto zanko L in skozi vsako njeno točko narišimo električno silnico (slika ). Te črte tvorijo cev sile. Oglejmo si poljuben odsek cevi s površino S . Pozitivno normalo narišemo v isto smer, kot so usmerjene silnice. Naj bo N tok vektorja E → skozi odsek S . Lahko vidimo, da če v cevi ni električnih nabojev, ostane tok N enak po celotni dolžini cevi. Da bi to dokazali, moramo vzeti še en presek S ′. Po Gaussovem izreku je tok električnega polja skozi zaprto ploskev, omejeno s stransko ploskvijo cevi in ​​odseki S , S ′, enak nič, saj znotraj silovite cevi ni električnih nabojev. Pretok skozi stransko ploskev je nič, saj se vektor E → dotika te ploskve. Zato je pretok skozi odsek S številčno enak N , vendar nasprotnega predznaka. Zunanja normala na zaprto površino na tem odseku je usmerjena nasprotno n → . Če usmerimo normalo v isto smer, bodo tokovi skozi odseke S in S ′ sovpadali tako po velikosti kot po predznaku. Še posebej, če je cev neskončno tanka in sta preseka S in S′ normalna nanjo, potem

E S = E′ S′.

Izkaže se popolna analogija s tokom nestisljive tekočine. Kjer je cev tanjša, je polje E → močnejše. Na mestih, kjer je širše, je polje E → močnejše. Zato lahko jakost električnega polja presojamo po gostoti silnic.

Pred izumom računalnikov so za poskusno reprodukcijo silnic polja vzeli stekleno posodo z ravnim dnom in vanjo vlili neprevodno tekočino, na primer ricinusovo olje ali glicerin. V tekočino so enakomerno vmešali zdrobljene kristale sadre, azbesta ali katere koli druge podolgovate delce. Kovinske elektrode so bile potopljene v tekočino. Ko so elektrode priključene na vire električne energije, so vzbudile električno polje. V tem polju so delci naelektreni in se med seboj privlačijo z nasprotno naelektrenimi konci in se razporedijo v obliki verig vzdolž silnic. Sliko silnic polja popačijo tokovi tekočine, ki jih povzročijo sile, ki delujejo nanjo v nehomogenem električnem polju.

Še biti dokončano
riž. 1.22:
Najboljše rezultate daje metoda, ki jo uporablja Robert W. Pohl (1884-1976). Jeklene elektrode so prilepljene na stekleno ploščo, med katerimi se ustvari električna napetost. Nato se podolgovati delci, na primer kristali mavca, vlijejo na ploščo in rahlo tapkajo po njej. Nahajajo se vzdolž nje vzdolž silnic. Na sl. ?? upodobljena je tako dobljena slika silnic med dvema nasprotno nabitima krogoma okvirja.

▸ Naloga 9.1

Zapiši enačbo poljskih premic v poljubnem pravokotniku koordinate.

▸ Naloga 9.2

Zapišite enačbo silnic v sferičnih koordinatah.

Ekvipotencialne površine so takšne površine, katerih vsaka točka ima enak potencial. To pomeni, da ima na ekvipotencialni površini električni potencial konstantno vrednost. Takšna površina je površina prevodnikov, saj je njihov potencial enak.

Predstavljajte si takšno površino, za dve točki katere bo potencialna razlika enaka nič. To bo ekvipotencialna površina. Ker ima enak potencial. Če upoštevamo ekvipotencialno površino v dvodimenzionalnem prostoru, recimo na risbi, potem bo imela obliko črte. Delo sil električnega polja za premikanje električnega naboja vzdolž te premice bo enako nič.

Ena od lastnosti ekvipotencialnih površin je, da so vedno pravokotne na poljske črte. To lastnost je mogoče formulirati in obratno. Vsaka površina, ki je v vseh točkah pravokotna na silnice električnega polja, se imenuje ekvipotencialna površina.

Prav tako se takšne površine med seboj nikoli ne križajo. Ker bi to pomenilo razliko v potencialu znotraj iste površine, kar je v nasprotju z definicijo. Prav tako so vedno zaprti. Površine z enakim potencialom se ne morejo začeti in iti v neskončnost brez jasnih meja.

Praviloma ni treba, da risbe prikazujejo celotno površino. Pogosteje prikazujejo pravokoten prerez na ekvipotencialne površine. Tako se izrodijo v črte. To se izkaže kot povsem dovolj za oceno porazdelitve tega polja. Pri grafičnem prikazu so površine postavljene v istem intervalu. To pomeni, da med dvema sosednjima površinama opazimo enak korak, recimo en volt. Nato lahko glede na gostoto linij, ki jih tvori odsek ekvipotencialnih površin, ocenimo moč električnega polja.

Na primer, razmislite o polju, ki ga ustvari točkovni električni naboj. Silnice takega polja so radialne. To pomeni, da se začnejo v središču naboja in gredo v neskončnost, če je naboj pozitiven. Ali usmerjen proti naboju, če je negativen. Ekvipotencialne površine takega polja bodo imele obliko krogel s središčem v naboju in od njega odstopajoče. Če upodabljamo dvodimenzionalni odsek, bodo ekvipotencialne črte v obliki koncentričnih krogov, katerih središče se nahaja tudi v naboju.

Slika 1 - ekvipotencialne črte točkastega naboja

Za enakomerno polje, kot je na primer polje med ploščama električnega kondenzatorja, bodo imele površine enakega potenciala obliko ravnin. Ti ravnini sta med seboj vzporedni na enaki razdalji. Res je, da bo na robovih plošč vzorec polja popačen zaradi robnega učinka. Predstavljamo pa si, da so plošče neskončno dolge.

Slika 2 - ekvipotencialne črte enotnega polja

Za prikaz ekvipotencialnih črt za polje, ki ga ustvarjata dva naboja, enaka po velikosti in nasprotnega predznaka, ni dovolj uporabiti načela superpozicije. Ker v tem primeru, ko se naneseta dve sliki točkovnih nabojev, bodo točke presečišča silnic polja. A tega ne more biti, saj polja ni mogoče usmeriti v dve različni smeri hkrati. V tem primeru je treba problem rešiti analitično.

Slika 3 - Slika polja dveh električnih nabojev