Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bodo vaše znanje in risarske sposobnosti veliko pomembnejše. V zvezi s tem je koristno osvežiti spomin na grafe glavnih elementarnih funkcij in biti vsaj sposoben zgraditi ravno črto in hiperbolo.

Krivočrtni trapez je ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom zvezne funkcije na segmentu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne manj abscisa:

Potem površina krivuljnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen.

Z vidika geometrije je določeni integral POVRŠINA.

to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju neke figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko dokončajo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o nalogi. Prvi in ​​najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo zgraditi PRAV.

Pri izdelavi načrta priporočam naslednji vrstni red: prvi bolje je zgraditi vse črte (če obstajajo) in samo po- parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Funkcijske grafe je bolj donosno graditi točkovno.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo (upoštevajte, da enačba določa os):

Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, zato:

odgovor:

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "z očmi" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje prišlo do napake - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativnega, je bila tudi naloga napačno rešena.

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

Rešitev: Naredimo risbo:

Če se nahaja krivočrtni trapez pod osjo(ali vsaj ne višje določeni osi), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:

V tem primeru:

Pozor! Ne mešajte obeh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da rešite samo določen integral brez geometričnega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ploščate figure, omejene s črtami, .

Rešitev: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišče parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:

Torej, spodnja meja integracije, zgornja meja integracije.

Če je mogoče, je najbolje, da te metode ne uporabite..

Veliko bolj donosno in hitreje je graditi proge točko za točko, medtem ko se meje integracije odkrijejo kot "same od sebe". Kljub temu je treba analitično metodo iskanja meja še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali navojna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnemo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

In zdaj delujoča formula: Če obstaja neka zvezna funkcija na intervalu večji ali enak nekaj zvezne funkcije, potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami, mogoče najti s formulo:

Tukaj ni več treba razmišljati, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je katera tabela je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole:

Želena figura je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor:

Primer 4

Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

Rešitev: Najprej naredimo risbo:

Lik, katerega območje moramo najti, je osenčen z modro barvo.(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi v tem, da je v njem območje figure izračunano z uporabo dveh določenih integralov.

res:

1) Na segmentu nad osjo je premični graf;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitiva je zgolj informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Ključne besede: celostni, ukrivljeni trapez, območje figur, omejenih z lilijami

Oprema Kabina: tabla, računalnik, multimedijski projektor

Vrsta lekcije: lekcija-predavanje

Cilji lekcije:

• izobraževalni: oblikovati kulturo miselnega dela, ustvariti situacijo uspeha za vsakega učenca, oblikovati pozitivno motivacijo za učenje; razvijati sposobnost govorjenja in poslušanja drugih.
• razvoj: oblikovanje neodvisnosti študentovega mišljenja pri uporabi znanja v različnih situacijah, sposobnost analiziranja in sklepanja, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnega postavljanja vprašanj in iskanja odgovorov nanje. Izboljšanje oblikovanja računskih, računskih spretnosti, razvijanje mišljenja učencev med izvajanjem predlaganih nalog, razvijanje algoritemske kulture.
• izobraževalni: oblikovati pojme o krivočrtnem trapezu, o integralu, obvladati veščine računanja ploščin ravnih likov.

Učna metoda: razlagalno in ilustrativno.

Med poukom

V prejšnjih razredih smo se naučili izračunati ploščine likov, katerih meje so lomljene črte. V matematiki obstajajo metode, ki vam omogočajo izračun površine figur, omejenih s krivuljami. Takšne figure se imenujejo krivuljasti trapezi, njihova površina pa se izračuna z uporabo antiizpeljank.

Krivočrtni trapez ( diapozitiv 1)

Krivočrtni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ( w.m.), naravnost x = a in x = b in abscisa

Različne vrste ukrivljenih trapezov ( diapozitiv 2)

Razmislimo o različnih vrstah krivočrtnih trapezov in opazimo: ena od premic je degenerirana v točko, vlogo omejitvene funkcije ima premica

Območje krivolinijskega trapeza (slide 3)

Popravite levi konec intervala a, in prav X bomo spremenili, tj. premaknemo desno steno krivočrtnega trapeza in dobimo spreminjajoč se lik. Območje spremenljivega krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije, je antiizpeljava F za funkcijo f

In na segmentu [ a; b] območje krivuljnega trapeza, ki ga tvori funkcija f, je enak prirastku antiodvoda te funkcije:

1. vaja:

Poiščite površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije: f(x) = x 2 in neposredno y=0, x=1, x=2.

Rešitev: ( po diapozitivu algoritma 3)

Nariši graf funkcije in premic

Poiščite enega od protiodvodov funkcije f(x) = x 2 :

Samopreverjanje diapozitivov

Integral

Razmislite o krivočrtnem trapezu, ki ga daje funkcija f na segmentu [ a; b]. Razčlenimo ta segment na več delov. Območje celotnega trapeza bo razdeljeno na vsoto površin manjših ukrivljenih trapezov. ( diapozitiv 5). Vsak tak trapez lahko približno štejemo za pravokotnik. Vsota površin teh pravokotnikov daje približno predstavo o celotnem območju krivuljnega trapeza. Manjši kot je odsek [ a; b], bolj natančno izračunamo površino.

Te premisleke zapišemo v obliki formul.

Razdeli segment [ a; b] na n delov s pikami x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Dolžina k- th označimo z xk = xk - xk-1. Naj povzamemo

Geometrično je ta vsota površina figure, zasenčene na sliki ( sh.m.)

Vsote oblike imenujemo integralne vsote za funkcijo f. (š.m.)

Integralne vsote dajejo približno vrednost površine. Natančno vrednost dobimo s prehodom na mejo. Predstavljajte si, da izpopolnimo particijo segmenta [ a; b], tako da se dolžine vseh majhnih segmentov nagibajo k nič. Nato se bo območje sestavljene figure približalo območju krivolinijskega trapeza. Lahko rečemo, da je površina krivuljnega trapeza enaka meji integralnih vsot, Sk.t. (š.m.) ali integralno, tj.

definicija:

funkcijski integral f(x) od a prej b imenujemo limita integralnih vsot

= (š.m.)

Newton-Leibnizova formula.

Ne pozabite, da je meja integralnih vsot enaka ploščini krivuljnega trapeza, zato lahko zapišemo:

Sk.t. = (š.m.)

Po drugi strani pa se površina krivuljnega trapeza izračuna po formuli

S do t. (š.m.)

Če primerjamo te formule, dobimo:

= (š.m.)

Ta enakost se imenuje Newton-Leibnizova formula.

Za udobje izračunov je formula napisana kot:

= = (š.m.)

Naloge: (š.m.)

1. Izračunajte integral z uporabo Newton-Leibnizove formule: ( preveri diapozitiv 5)

2. Sestavite integrale po risbi ( preverite na diapozitivu 6)

3. Poiščite območje figure, omejene s črtami: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Diapozitiv 7)

Iskanje površin ravninskih likov ( diapozitiv 8)

Kako najti območje figur, ki niso ukrivljeni trapezi?

Naj sta podani dve funkciji, katerih grafe vidite na prosojnici . (š.m.) Poiščite območje zasenčene figure . (š.m.). Ali je obravnavani lik krivočrtni trapez? In kako lahko najdete njegovo ploščino z uporabo lastnosti aditivnosti ploščine? Razmislite o dveh ukrivljenih trapezoidih in odštejte območje drugega od območja enega od njiju ( w.m.)

Naredimo algoritem za iskanje območja iz animacije na diapozitivu:

1. Plot Funkcije
2. Projicirajte presečišča grafov na os x
3. Osenči sliko, ki jo dobiš s križanjem grafov
4. Poiščite krivulje trapeze, katerih presečišče ali unija je dani lik.
5. Izračunajte površino vsakega
6. Poiščite razliko ali vsoto površin

Ustna naloga: Kako dobiti površino zasenčene figure (povejte z animacijo, diapozitiva 8 in 9)

Domača naloga: Izdelajte povzetek, št. 353 (a), št. 364 (a).

Bibliografija

1. Algebra in začetek analize: učbenik za 9.-11. razred večerne (izmenske) šole / ur. G.D. Glazer. - M: Razsvetljenje, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra in začetek analize: učbenik za 10.-11. razred srednje šole / Bashmakov M.I. - M: Razsvetljenje, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: učbenik za zavode zač. in sredo prof. izobraževanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra in začetek analize: učbenik za 10-11 celic. izobraževalne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Razsvetljenje, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kako narediti predstavitev za lekcijo? / S.L. Ostrovski. – M.: Prvi september 2010.

Določen integral. Kako izračunati površino figure

Zdaj se posvetimo obravnavi aplikacij integralnega računa. V tej lekciji bomo analizirali tipično in najpogostejšo nalogo. Kako uporabiti določen integral za izračun površine ravninske figure. Končno tisti, ki iščejo smisel v višji matematiki – naj ga najdejo. Nikoli ne veš. V resničnem življenju boste morali približati poletno kočo z osnovnimi funkcijami in poiskati njeno površino z določenim integralom.

Za uspešno obvladovanje gradiva morate:

1) Razumevanje nedoločenega integrala vsaj na srednji ravni. Tako naj lutke najprej preberejo lekcijo ne.

2) Znati uporabiti Newton-Leibnizovo formulo in izračunati določen integral. Z nekaterimi integrali na strani lahko vzpostavite tople prijateljske odnose Določen integral. Primeri rešitev.

Pravzaprav, da bi našli območje figure, ne potrebujete toliko znanja o nedoločenem in določenem integralu. Naloga "izračunaj površino z določenim integralom" vedno vključuje izdelavo risbe, zato bodo vaše znanje in risarske sposobnosti veliko pomembnejše. V zvezi s tem je koristno osvežiti grafe glavnih elementarnih funkcij v pomnilniku in vsaj imeti možnost zgraditi ravno črto, parabolo in hiperbolo. To je mogoče storiti (mnogi to potrebujejo) s pomočjo metodološkega gradiva in članka o geometrijskih transformacijah grafov.

Pravzaprav je že od šole vsakdo seznanjen s problemom iskanja območja z določenim integralom, zato bomo šli malo naprej od šolskega kurikuluma. Ta članek morda sploh ne obstaja, a dejstvo je, da se težava pojavi v 99 primerih od 100, ko študenta muči osovražen stolp z navdušenjem obvlada tečaj višje matematike.

Gradivo te delavnice je predstavljeno preprosto, podrobno in z minimalno teorijo.

Začnimo s krivolinijskim trapezom.

Krivočrtni trapez imenovana ravna figura, omejena z osjo, ravnimi črtami in grafom funkcije, zvezne na segmentu, ki na tem intervalu ne spremeni predznaka. Naj se ta številka nahaja ne manj abscisa:

Potem površina krivuljnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu. Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Na lekciji Določen integral. Primeri rešitev Rekel sem, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.

to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju neke figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa krivuljo na ravnini, ki se nahaja nad osjo (tisti, ki želijo, lahko dokončajo risbo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o nalogi. Prvi in ​​najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo zgraditi PRAV.

Pri izdelavi načrta priporočam naslednji vrstni red: prvi bolje je zgraditi vse črte (če obstajajo) in samo po- parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Funkcijske grafe je bolj donosno graditi točka za točko, s tehniko točkovne konstrukcije najdete v referenčnem gradivu Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Tam lahko najdete tudi gradivo, ki je zelo koristno v povezavi z našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo (upoštevajte, da enačba določa os):

Ne bom šrafiral ukrivljenega trapeza, očitno je, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, zato:

odgovor:

Kdo ima težave pri izračunu določenega integrala in uporabi Newton-Leibnizove formule , sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev.

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "z očmi" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje prišlo do napake - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativnega, je bila tudi naloga napačno rešena.

Primer 2

Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , in os

To je primer "naredi sam". Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

Rešitev: Naredimo risbo:

Če se nahaja krivočrtni trapez pod osjo(ali vsaj ne višje določeni osi), potem lahko njeno ploščino najdemo s formulo:
V tem primeru:

Pozor! Ne mešajte obeh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da rešite samo določen integral brez geometričnega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ploščate figure, omejene s črtami, .

Rešitev: Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišče parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:

Torej, spodnja meja integracije, zgornja meja integracije.
Če je mogoče, je najbolje, da te metode ne uporabite..

Veliko bolj donosno in hitreje je graditi proge točko za točko, medtem ko se meje integracije odkrijejo kot "same od sebe". Tehnika gradnje od točke do točke za različne grafikone je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba analitično metodo iskanja meja še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali navojna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnemo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.

In zdaj delujoča formula: Če obstaja neka zvezna funkcija na intervalu večji ali enak nekaj zvezne funkcije, potem je območje slike, omejeno z grafi teh funkcij in ravnimi črtami, mogoče najti s formulo:

Tukaj ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je katera tabela je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole:

Želena figura je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor:

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule . Ker je os podana z enačbo , se nahaja graf funkcije ne višje sekire, torej

In zdaj nekaj primerov za neodvisno rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite površino figure, ki jo obdajajo črte , .

Med reševanjem nalog za izračun ploščine z uporabo določenega integrala se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, vendar zaradi nepazljivosti ... našel območje napačne figure, tako se je tvoj pokorni služabnik večkrat zajebal. Tukaj je primer iz resničnega življenja:

Primer 7

Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

Rešitev: Najprej naredimo risbo:

…Eh, risba je izpadla zanič, ampak se zdi, da je vse berljivo.

Lik, katerega območje moramo najti, je osenčen z modro barvo.(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi "napaka", da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi v tem, da je v njem območje figure izračunano z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu nad osjo je premični graf;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Pojdimo k eni bolj smiselni nalogi.

Primer 8

Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in izvedimo risanje po točkah:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: .
Kakšna pa je spodnja meja? Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže. Ali koren. Kaj pa, če grafa sploh ne bi dobili prav?

V takšnih primerih je treba porabiti dodaten čas in analitično izpopolniti meje integracije.

Poiščimo presečišče premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:


,

Res,.

Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih, izračuni tukaj niso najlažji.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor:

No, za zaključek lekcije bomo razmislili o dveh težjih nalogah.

Primer 9

Izračunaj površino figure, omejene s črtami , ,

Rešitev: Nariši to figuro na risbi.

Prekleto, pozabil sem podpisati urnik in ponavljanje slike, žal, ni vroče. Ni risba, skratka, danes je ta dan =)

Za gradnjo po točkah je potrebno poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno poznati grafi vseh elementarnih funkcij), kot tudi nekatere sinusne vrednosti, jih lahko najdete v trigonometrična tabela. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je dovoljeno sestaviti shematsko risbo, na kateri morajo biti grafi in integracijske meje načeloma pravilno prikazani.

Tukaj ni težav z integracijskimi mejami, izhajajo neposredno iz pogoja: - "x" se spremeni iz nič v "pi". Sprejmemo nadaljnjo odločitev:

Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:

Površina krivuljnega trapeza je številčno enaka določenemu integralu

Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. Pri pouku sem rekel, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral PLOŠČINA.

to je določeni integral (če obstaja) geometrično ustreza območju neke figure. Na primer, razmislite o določenem integralu. Integrand določa določeno krivuljo na ravnini (po želji jo lahko vedno narišemo), sam določeni integral pa je številčno enak površini ustreznega krivuljnega trapeza.

Primer 1

To je tipična izjava o nalogi. Prvi in ​​najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo zgraditi PRAV.

Pri izdelavi načrta priporočam naslednji vrstni red: prvi bolje je zgraditi vse črte (če obstajajo) in samo po- parabole, hiperbole, grafe drugih funkcij. Funkcijske grafe je bolj donosno graditi točka za točko, tehniko točkovne konstrukcije najdete v referenčnem gradivu.

Tam lahko najdete tudi gradivo, ki je zelo koristno v povezavi z našo lekcijo - kako hitro zgraditi parabolo.

V tej težavi bi lahko rešitev izgledala takole.
Narišimo (upoštevajte, da enačba določa os):

Ne bom šrafiral ukrivljenega trapeza, očitno je, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:

Na segmentu se nahaja graf funkcije nad osjo, zato:

odgovor:

Kdo ima težave pri izračunu določenega integrala in uporabi Newton-Leibnizove formule , sklicevati se na predavanje Določen integral. Primeri rešitev.

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "z očmi" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno nekje prišlo do napake - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativnega, je bila tudi naloga napačno rešena.

Primer 2

Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , in os

To je primer "naredi sam". Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo?

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami in koordinatnimi osmi.

Rešitev: Narišimo:

Če je krivočrtni trapez popolnoma pod osjo, potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:
V tem primeru:

Pozor! Ne smemo zamenjati dveh vrst nalog:

1) Če vas prosimo, da rešite samo določen integral brez geometričnega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih nalog preidemo na bolj smiselne primere.

Primer 4

Poiščite območje ploščate figure, omejene s črtami, .

Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišče parabole in premice. To lahko naredimo na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:

Torej, spodnja meja integracije, zgornja meja integracije.
Če je mogoče, je bolje, da te metode ne uporabite.

Veliko bolj donosno in hitreje je graditi proge točko za točko, medtem ko se meje integracije odkrijejo kot "same od sebe". Tehnika gradnje od točke do točke za različne grafikone je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba analitično metodo iskanja meja še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali navojna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In upoštevali bomo tudi tak primer.

Vrnemo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:

Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije najpogosteje ugotavljajo »samodejno«.

In zdaj delovna formula:Če na segmentu neka zvezna funkcija večji ali enak nekaj zvezne funkcije, potem je območje ustrezne figure mogoče najti s formulo:

Tukaj ni več treba razmišljati o tem, kje se nahaja figura - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je katera tabela je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.

V obravnavanem primeru je očitno, da se na segmentu parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole:

Želena figura je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor:

Pravzaprav je šolska formula za območje krivuljnega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule . Ker je os podana z enačbo in se graf funkcije nahaja pod osjo, potem

In zdaj nekaj primerov za neodvisno rešitev

Primer 5

Primer 6

Poiščite površino figure, ki jo obdajajo črte , .

Med reševanjem nalog za izračun ploščine z uporabo določenega integrala se včasih zgodi kakšen smešen dogodek. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, vendar zaradi nepazljivosti ... našel območje napačne figure, tako se je tvoj pokorni služabnik večkrat zajebal. Tukaj je primer iz resničnega življenja:

Primer 7

Izračunaj ploščino figure, ki jo omejujejo črte , , , .

Najprej narišimo:

Lik, katerega območje moramo najti, je osenčen z modro barvo.(pozorno poglejte stanje - kako omejena je številka!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi, da morate najti območje figure, ki je osenčeno z zeleno!

Ta primer je uporaben tudi v tem, da je v njem območje figure izračunano z uporabo dveh določenih integralov. res:

1) Na segmentu nad osjo je premični graf;

2) Na segmentu nad osjo je graf hiperbole.

Povsem očitno je, da se območja lahko (in morajo) dodati, zato:

odgovor:

Primer 8

Izračunaj površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in izvedimo risanje po točkah:

Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: .
Kakšna pa je spodnja meja? Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj? Morda? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže. Ali koren. Kaj pa, če grafa sploh ne bi dobili prav?

V takšnih primerih je treba porabiti dodaten čas in analitično izpopolniti meje integracije.

Poiščimo presečišče premice in parabole.
Da bi to naredili, rešimo enačbo:

Posledično,.

Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih, izračuni tukaj niso najlažji.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor:

No, za zaključek lekcije bomo razmislili o dveh težjih nalogah.

Primer 9

Izračunaj površino figure, omejene s črtami , ,

Rešitev: Nariši to figuro na risbi.

Za gradnjo risbe po točkah je potrebno poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno poznati grafi vseh elementarnih funkcij), kot tudi nekatere sinusne vrednosti, jih lahko najdete v trigonometrična tabela. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je dovoljeno sestaviti shematsko risbo, na kateri morajo biti grafi in integracijske meje načeloma pravilno prikazani.

Tukaj ni težav z integracijskimi mejami, izhajajo neposredno iz pogoja: - "x" se spremeni iz nič v "pi". Sprejmemo nadaljnjo odločitev:

Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:

(1) Kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihih potencah, si lahko ogledate v lekciji Integrali trigonometričnih funkcij. To je tipična tehnika, odščipnemo en sinus.

(2) V obrazcu uporabljamo osnovno trigonometrično istovetnost

(3) Spremenimo spremenljivko in nato:

Nove prerazporeditve integracije:

Kdo je res slab posel z zamenjavami, pojdite na lekcijo Metoda zamenjave v nedoločenem integralu. Za tiste, ki jim zamenjavni algoritem v določenem integralu ni najbolj jasen, obiščite stran Določen integral. Primeri rešitev.

Primer1 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 in x = 2

Zgradimo figuro (glej sliko). Zgradimo ravno črto x + 2y - 4 \u003d 0 vzdolž dveh točk A (4; 0) in B (0; 2). Če izrazimo y v smislu x, dobimo y \u003d -0,5x + 2. V skladu s formulo (1), kjer je f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, smo najti

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. enote

Primer 2 Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 in y \u003d 0.

Rešitev. Zgradimo figuro.

Zgradimo ravno črto x - 2y + 4 \u003d 0: y \u003d 0, x \u003d - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruirajmo ravno črto x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Poiščite presečišče premic tako, da rešite sistem enačb:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Za izračun želene ploščine trikotnik AMC razdelimo na dva trikotnika AMN in NMC, saj je pri spremembi x iz A v N ploščino omejena s premico, pri spremembi x iz N v C pa je premica.

Za trikotnik AMN velja: ; y \u003d 0,5x + 2, tj. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Za trikotnik NMC velja: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Z izračunom površine vsakega od trikotnikov in dodajanjem rezultatov najdemo:

kv. enote

kv. enote

9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metrov. enote Preverite: = 0,5AC = 0,5 kvadratnih metrov. enote

Primer 3 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tem primeru je potrebno izračunati površino krivuljnega trapeza, omejenega s parabolo y = x 2 , ravne črte x \u003d 2 in x \u003d 3 ter os Ox (glej sliko) S formulo (1) najdemo območje krivolinijskega trapeza

= = 6kv. enote

Primer 4 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y \u003d - x 2 + 4 in y = 0

Zgradimo figuro. Želeno območje je zaprto med parabolo y \u003d - x 2 + 4 in os Oh.

Poiščite točke presečišča parabole z osjo x. Ob predpostavki, da je y \u003d 0, najdemo x \u003d Ker je ta številka simetrična glede na os Oy, izračunamo površino figure, ki se nahaja desno od osi Oy, in podvojimo rezultat: \u003d + 4x] kvadratnih metrov enote 2 = 2 kvadratnih metrov enote

Primer 5 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tukaj je potrebno izračunati površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje zgornja veja parabole y 2 \u003d x, os Ox in ravne črte x \u003d 1x \u003d 4 (glej sliko)

Po formuli (1), kjer je f(x) = a = 1 in b = 4, imamo = (= kvadratne enote

Primer 6 . Izračunajte ploščino figure, omejene s črtami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Želeno območje je omejeno s polvalovno sinusoido in osjo Ox (glej sliko).

Imamo - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kvadratnih metrov. enote

Primer 7 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 in x \u003d 4.

Slika se nahaja pod osjo Ox (glej sliko).

Zato je njegovo območje določeno s formulo (3)

= =

Primer 8 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y \u003d in x \u003d 2. Zgradili bomo krivuljo y \u003d s točkami (glej sliko). Tako je območje figure najdeno s formulo (4)

Primer 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Tukaj morate izračunati površino, ki jo omejuje krog x 2 + y 2 = r 2 , tj. območje kroga s polmerom r s središčem v izhodišču. Poiščimo četrti del tega območja, pri čemer vzamemo meje integracije od 0

dor; imamo: 1 = = [

Posledično 1 =

Primer 10 Izračunajte površino figure, omejene s črtami: y \u003d x 2 in y = 2x

Ta številka je omejena s parabolo y \u003d x 2 in ravna črta y \u003d 2x (glej sliko) Za določitev presečišč danih črt rešimo sistem enačb: x 2 – 2x = 0 x = 0 in x = 2

Z uporabo formule (5) za iskanje površine dobimo

= }