Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Кинетическая энергия вращающеюся тела

Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неоодвижной оси которую мы назовем осью z (рис. 41.1). Линейная скорость элементарной массы равна где - расстояние массы от оси . Следовательно для кинетической энергии элементарной массы получается выражение

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела 1 относительно оси вращения. образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна

Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (см. рис. 41.1). Согласно (20.5) эти силы совершат за время работу

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей (см. (2.34)), получим:

где N - момент внутренней силы относительно точки О, N - аналогичный момент внешней силы.

Просуммировав выражение (41.2) по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:

Сумма моментов внутренних сил равна нулю (см. (29.12)). Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил через N придем к выражению

(мы воспользовались формулой (2.21)).

Наконец, приняв во внимание, что есть угол на который поворачивается тело за время получим:

Знак работы зависит от знака т. е. от знака проекции вектора N на направление вектора

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, работа же внешних сил определяется формулой (41.4).

К формуле (41.4) можно прийти, воспользовавшись тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии (см. (19.11)). Взяв дифференциал от обеих частей равенства (41.1), придем к соотношению

Согласно уравнению (38.8) так что, заменив через придем к формуле (41.4).

Таблица 41.1

В табл. 41.1 сопоставлены формулы механики вращательного движений с аналогичными формулами механики поступательного движения (механики точки). Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы момент силы, роль импульса - момент импульса и т. д.

Формулу. (41.1) мы получили для случая, когда тело вращается вокруг неподвижной фиксированной в теле оси. Теперь допустим что тело вращается произвольным образом относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром масс.

Свяжем жестко с телом декартову систему координат, начало которой поместим в центр масс тела. Скорость i-й элементарный массы равна Следовательно, для кинетической энергии тела, можно написать выражение

где - угол между векторами Заменив а через и учтя, что получим:

Распишем скалярные произведения через проекции векторов на оси связанной с телом координатной системы:

Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми произведениями компонент угловой скорости и вынеся эти произведения за знаки сумм, получим: так что формула (41.7) принимает вид (ср. с (41.1)). При вращении произвольного тела вокруг одной из главных осей инерции, скажем оси и формула (41.7) переходит в (41.10.

Таким, образом. кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трех случаях: 1) для тела вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется белее сложными формулами (41.5) или (41.7).

Механика.

Вопрос №1

Система отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея - Эйнштейна.

Система отсчёта - это совокупность тел по отношению к которым описывается движение данного тела и связанная с ним система координат.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) - это система, в которой свободно движущееся тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Принцип относительности Галилея - Эйнштейна - Все явления природы в любой инерциальной системе отсчёта происходят одинаково и имеют одинаковый математический вид. Другими словами все ИСО равноправны.

Вопрос №2

Уравнение движения. Виды движения твёрдого тела. Основная задача кинематики.

Уравнения движения материальной точки:

- кинематическое уравнение движения

Виды движения твёрдого тела:

1) Поступательное движение - любая прямая проведённая в теле перемещается параллельно самой себе.

2) Вращательно движение - любая точка тела движется по окружности.

φ = φ(t)

Основная задача кинематики - это получение зависимостей от времени скорости V= V(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t) материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных условий V 0 и r 0 .

Вопрос №7

И́мпульс (Количество движения ) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты , то в силу уравнений Лагранжа .

Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: , отсюда:

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства : для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)

Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

,

где m i - масса i -й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Вопрос №8

Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инерции тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

• m i - масса i -й точки,
• r i - расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

• dm = ρdV - масса малого элемента объёма тела dV ,
• ρ - плотность,
• r - расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Вывод формулы

dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Энергия вращательного движения

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость (ω) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:

K z = I z ω

и кинетическая энергия

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где I - тензор инерции.

Вопрос №9

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой непПроизводная момента импульса по времени есть момент силы:

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

Задачи

1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?

2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.

3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.

4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.

5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с 2 . Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м 2 , количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.

6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м 2 .

7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м 2 , якоря 120 кг·м 2 . Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.

11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬОГО

ДВИЖЕНИЯ

Выведем формулу кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной оси. Любая небольшая частица тела совершает поступательное движение по окружности со скоростью , где r i – расстояние до оси вращения, радиус орбиты. Кинетическая энергия частицы массы m i равна . Полная кинетическая энергия системы частиц равна сумме их кинетических энергий. Просуммируем формулы кинетической энергии частиц тела и вынесем за знак суммы половину квадрата угловой скорости, которая одинакова для всех частиц, . Сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела относительно оси вращения . Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости вращения :

С помощью вращающихся тел можно запасать механическую энергию. Такие тела называются маховиками. Обычно это тела вращения. Известно с древности применение маховиков в гончарном круге. В двигателях внутреннего сгорания во время рабочего хода поршень сообщает механическую энергию маховику, который затем три последующих такта совершает работу по вращению вала двигателя. В штампах и прессах маховик приводится во вращение сравнительно маломощным электродвигателем, накапливает механическую энергию почти в течение полного оборота и в кратковременный момент удара отдает ее на работу штампования.

Известны многочисленные попытки применения вращающихся маховиков для привода в движение транспортных средств: легковых автомобилей, автобусов. Их называют махомобили, гировозы. Таких экспериментальных машин было создано немало. Было бы перспективно применять маховики для аккумулирования энергии при торможении электропоездов с целью использования накопленной энергии при последующем разгоне. Известно, что маховичный накопитель энергии используется на поездах метрополитена Нью-Йорка.